Modules over Ring Spectra

Symmetric monoidal category になる spectrum の category が作られたことにより, ring spectrum をその monoid object として定義できるようになった。 それにより, monoid object に対する概念を ring spectrum に対し適用することができるようになった。 まず, module を定義することができる。

• ring spectrum 上の left module spectrum と right module spectrum
• ring spectrum \(A\) と \(B\) に対し \(A\)-\(B\)-bimodule spectrum

もっとも, ring spectrum の module spectrum は, 近代的な spectrum の定義が発見される以前にも考えられていた。例えば, Robinson [Rob87; Rob89] は, \(A_{\infty }\)-structure を用いて module spectrum を定義している。

また, Robinson は, それを用いて ring spectrum の derived category も定義している。

• ring spectrum の derived category

Robinson の論文の目的は, 環 \(A\) の Eilenberg-Mac Lane spectrum \(HA\) の derived category と, ホモロジー代数的な \(A\) の derived category の比較であり, それらが同値であることが示されている。

現代的には, derived category にする前, すなわち homotopy category を取る前の段階で比較をしたい。それについては, Schwede と Shipley の [SS03] がある。

• 環 \(A\) に対し, \(HA\)-module の圏 \(\lMod{HA}\) は, \(A\)加群の chain complex の圏 \(\category{dg}(\lMod{A})\) と Quillen 同値になる。

Schwede と Shipley は, 実際には, より一般に環の many-objectification, つまりアーベル群の圏で enrich された small category に対し証明している。 そのような小圏 \(A\) に対しては, module の概念を定義することができるし, Eilenberg-Mac Lane spectrum の構成を一般化し, spectral category \(HA\) を構成することができるが, 彼等は, \(\lMod{HA}\) が \(\category{dg}(\lMod{A})\) と Quillen 同値になることを示している。

また, Eilenberg-Mac Lane spectrum の構成は, dg algebra へも拡張され, それにより, dg algebra の圏を spectrumの圏に埋め込むこともできる。これについては, [Elm+97] にも書いてあるが, Shipley の [Shi07] を見るのがよいだろう。 モデル圏の構造も含めて比較してある。 可換環の Eilenberg-Mac Lane spectrum の場合, multiplicative analogue が考えられるが, それについては Richter と Shipley [RS17] が調べている。

• 任意の可換環 \(R\) に対し, \(R\)上 の unbounded differential graded algebra のモデル圏と \(HR\)-algebra spectrum のモデル圏は, Quillen 同値である。
• differential graded \(R\)-algebra \(A\) を一つfixすると, \(A\) 上の differential graded module のモデル圏と \(A\) に対応する \(HR\)-algebra 上の module のモデル圏も Quillen 同値になる。
• dg category と spectral category の対応への拡張。 ([BM12] や [Tab])

Eilenberg-Mac Lane spectrum 以外の ring spectrum については, 例えば, Patchkoria [Pat17] は, odd prime で localize した complex \(K\)-theory spectrum や connective Morava \(K\)-theory の derived category を調べている。そして, これらは, その係数環の derived category と同値になることを示している。 つまり, Eilenberg-Mac Lane spectrum と同様, (ホモロジー)代数的に定義された derived category と同値になってしまう。 これらの spectrum は Eilenberg-Mac Lane spectrum ではないので, この同値は model category のレベルには持ち上がらない。

このような, ring spectrum 上の module の category は, motivic homotopy theory でも有用のようである。 Voevodsky の構成した triangulated category が, motivic Eilenberg-Mac Lane spectrum の module category の derived category として表せることが示されている。 Röndigs と Østvær の [RØ08] である。 そして Cisinski と Deglise [CD15], Bachmann と Fasel [BF], Elmanto と Kolderup [EK20] らにより, 拡張されている。

また, Elmanto ら [Elm+20] は, algebraic cobordism spectrum \(\mathrm{MGL}\) 上の module spectrum の category について調べている。

References

[BF]

Tom Bachmann and Jean Fasel. On the effectivity of spectra representing motivic cohomology theories. arXiv: 1710.00594.

[BM12]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Localization theorems in topological Hochschild homology and topological cyclic homology”. In: Geom. Topol. 16.2 (2012), pp. 1053–1120. arXiv: 0802.3938. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2012.16.1053.

[CD15]

Denis-Charles Cisinski and Frédéric Déglise. “Integral mixed motives in equal characteristic”. In: Doc. Math. Extra vol.: Alexander S. Merkurjev’s sixtieth birthday (2015), pp. 145–194. arXiv: 1410.6359.

[EK20]

Elden Elmanto and Håkon Kolderup. “On modules over motivic ring spectra”. In: Ann. K-Theory 5.2 (2020), pp. 327–355. arXiv: 1708.05651. url: https://doi.org/10.2140/akt.2020.5.327.

[Elm+20]

Elden Elmanto, Marc Hoyois, Adeel A. Khan, Vladimir Sosnilo, and Maria Yakerson. “Modules over algebraic cobordism”. In: Forum Math. Pi 8 (2020), e14, 44. arXiv: 1908.02162. url: https://doi.org/10.1017/fmp.2020.13.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6.

[Pat17]

Irakli Patchkoria. “The derived category of complex periodic \(K\)-theory localized at an odd prime”. In: Adv. Math. 309 (2017), pp. 392–435. arXiv: 1603.04681. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.01.023.

[RØ08]

Oliver Röndigs and Paul Arne Østvær. “Modules over motivic cohomology”. In: Adv. Math. 219.2 (2008), pp. 689–727. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2008.05.013.

[Rob87]

Alan Robinson. “The extraordinary derived category”. In: Math. Z. 196.2 (1987), pp. 231–238. url: https://doi.org/10.1007/BF01163657.

[Rob89]

Alan Robinson. “Composition products in \(R\mathrm{Hom}\), and ring spectra of derived endomorphisms”. In: Algebraic topology (Arcata, CA, 1986). Vol. 1370. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1989, pp. 374–386. url: https://doi.org/10.1007/BFb0085241.

[RS17]

Birgit Richter and Brooke Shipley. “An algebraic model for commutative \(H\Z \)-algebras”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.4 (2017), pp. 2013–2038. arXiv: 1411.7238. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.2013.

[Shi07]

Brooke Shipley. “\(H\Z \)-algebra spectra are differential graded algebras”. In: Amer. J. Math. 129.2 (2007), pp. 351–379. arXiv: math/0209215. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.2007.0014.

[SS03]

Stefan Schwede and Brooke Shipley. “Stable model categories are categories of modules”. In: Topology 42.1 (2003), pp. 103–153. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(02)00006-X.

[Tab]

Goncalo Tabuada. Topological Hochschild and cyclic homology for Differential graded categories. arXiv: 0804.2791.