Mapping class group の表現

Mapping class group の表現といっても色々あるが, まず知っておくべきなのは, 種数 \(g\) の曲面 \(S\) の mapping class group \(\Gamma \) のその曲面の homology への作用から得られる表現 \[ \Gamma \longrightarrow \mathrm {Sp}(2g,\Z ) \] である。この写像は全射であり, その kernel を Torelli group という。

• Torelli group

Lentner, Mierach, Schweigert, Sommerhäuser [Len+18] や Shimizu [Shi20] により, \(\SL _{2}(\Z )\) がある種の Hopf algebra や modular tensor category の Hochschild cohomology に作用することが発見された。より一般の mapping class group については, Lentner, Mierach, Schweigert, Sommerhäuser の [Len+] や Schweigert と Woike の [SW21] がある。

• mapping class group の modular tensor category の Hochschild cohomology への作用

曲面の category 上の functor があれば, mapping class group の表現ができるはずなので, topological quantum field theory から来るものも考えられる。 それと Nielsen-Thurston の理論との関係を調べるという問題が [AMU06]で提起されている。

Cooper [Coo16] が言うように, mapping class group の表現の categorification も topological field theory から得られることが期待されている。 Lipshitz と Osváth と Thurston の [LOT13] では, mapping class group が linear かという問題の categorification への回答として, mapping class group のある algebra の derived category への作用が構成されている。Siegel [Sie] は, その構成を純粋に combinatorial な議論だけで行なっている。

Cooper は, braid group の表現から dg category を構成し, その上への torus の mapping class group of a torus, すなわち \(\SL _2(\Z )\) が作用を構成している。

また, Dyckerhoff と Kapranov [DK18] は, \(2\)-periodic dg-enhancement を持つ triangulated category \(\bm {A}\) と triangulated oriented surface \(S\) から triangulated category \(F(S,\bm {A})\) を構成し, その上に \(S\) の mapping class group が作用することを示している。

• mapping class group の圏への作用

References

[AMU06]

Jørgen Ellegaard Andersen, Gregor Masbaum, and Kenji Ueno. “Topological quantum field theory and the Nielsen-Thurston classification of \(M(0,4)\)”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 141.3 (2006), pp. 477–488. arXiv: math/0503414. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004106009698.

[Coo16]

Benjamin Cooper. “Categorical representations of the modular group”. In: Forum Math. 28.1 (2016), pp. 89–99. arXiv: 1209.2358. url: https://doi.org/10.1515/forum-2013-0203.

[DK18]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. “Triangulated surfaces in triangulated categories”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 20.6 (2018), pp. 1473–1524. arXiv: 1306.2545. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/791.

[Len+]

Simon Lentner, Svea Nora Mierach, Christoph Schweigert, and Yorck Sommerhaeuser. Hochschild Cohomology, Modular Tensor Categories, and Mapping Class Groups. arXiv: 2003.06527.

[Len+18]

Simon Lentner, Svea Nora Mierach, Christoph Schweigert, and Yorck Sommerhäuser. “Hochschild cohomology and the modular group”. In: J. Algebra 507 (2018), pp. 400–420. arXiv: 1707.04032. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2018.03.036.

[LOT13]

Robert Lipshitz, Peter S. Ozsváth, and Dylan P. Thurston. “A faithful linear-categorical action of the mapping class group of a surface with boundary”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 15.4 (2013), pp. 1279–1307. arXiv: 1012 . 1032. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/392.

[Shi20]

Kenichi Shimizu. “Further results on the structure of (co)ends in finite tensor categories”. In: Appl. Categ. Structures 28.2 (2020), pp. 237–286. arXiv: 1801.02493. url: https://doi.org/10.1007/s10485-019-09577-7.

[Sie]

Kyler Siegel. A Geometric Proof of a Faithful Linear-Categorical Surface Mapping Class Group Action. arXiv: 1108.3676.

[SW21]

Christoph Schweigert and Lukas Woike. “Homotopy coherent mapping class group actions and excision for Hochschild complexes of modular categories”. In: Adv. Math. 386 (2021), Paper No. 107814, 55. arXiv: 2004.14343. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107814.