Torelli group

曲面 \(S\) の mapping class group \(\Gamma \) の, \(S\) のホモロジーへの作用から得られる準同型 \[ \Gamma \longrightarrow \mathrm{Sp}(2g,\Z ) \] の kernel を Torelli 群という。

Torelli 群については, Dennis Johnson の仕事 [Joh83b; Joh85a; Joh85b] が有名らしい。 Johnson 自身の解説 [Joh83a] もある。

別の approach としては, Putman の [Put07] がある。Torelli group を“装飾付きの”曲面を object とするある圏から群の圏への functor とみなすことにより, 曲面の切り貼りによる影響を記述しようというものである。

References

[Joh83a]

Dennis Johnson. “A survey of the Torelli group”. In: Low-dimensional topology (San Francisco, Calif., 1981). Vol. 20. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983, pp. 165–179. url: https://doi.org/10.1090/conm/020/718141.

[Joh83b]

Dennis Johnson. “The structure of the Torelli group. I. A finite set of generators for \(\cI \)”. In: Ann. of Math. (2) 118.3 (1983), pp. 423–442. url: http://dx.doi.org/10.2307/2006977.

[Joh85a]

Dennis Johnson. “The structure of the Torelli group. II. A characterization of the group generated by twists on bounding curves”. In: Topology 24.2 (1985), pp. 113–126. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90049-7.

[Joh85b]

Dennis Johnson. “The structure of the Torelli group. III. The abelianization of \(\cT \)”. In: Topology 24.2 (1985), pp. 127–144. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90050-3.

[Put07]

Andrew Putman. “Cutting and pasting in the Torelli group”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 829–865. arXiv: math/0608373. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.829.