境界や角を持つ多様体

境界を持つ多様体は, コボルディズムの基本である。

複素コボルディズムなどで, 係数環の生成元を消したいときには, いわゆる Baas-Sullivan 構成という方法があるが, そこでは角を持つ多様体 (manifold with corners) が使われている。 角を持つ多様体は, topological quantum field theory を拡張するためにも用いられる。 Albin と Melrose の [AM11] では, compact Lie群の多様体への作用を resolve するために用いられている。 その§1には, manifold with corners について簡潔にまとめられている。

Laures の [Lau00] によると, 角を持つ多様体のアイデアは, Cerf [Cer61] と Douady [Dou62] によるものらしい。 Baas-Sullivan 構成が導入された Baas の論文 [Baa73] では, Jänich の論文 [Jän68] も参照されている。 他の文献としては, Michael Davis の [Dav83] や Melrose の未完成の本 [Mel] の第1章などがある。

Jänich は, この論文で, manifold with faces, そして \(\langle n\rangle \)-manifold という概念を導入している。それは, Laures の [Lau00] でも使われている。

  • manifold with corners
  • manifold with faces
  • \(\langle n\rangle \)-manifold

このように, manifold with corners として使われているものには, 微妙に定義が異なったものが, 何種類もある。 その比較としては, Joyce の [Joy12] の Remark 2.11 がとてもよくまとまっているので, manifold with corners を使うときには, まずこの Remark に目を通すのがよいと思う。 ただ, Joyce は, manifold with corners \(M\) の境界 \(\partial M\) として, 他の定義とは異なるものを用いているので注意しないといけない。

Castillo と Diaz は, [CD] で, 多様体ordinary homology での intersection pairing を考えるために都合の良いモデルとして, 角を持つ多様体を用いた chain complex を考えている。

角を持つ多様体上の解析を考えるときには, groupoid を使うのがよいようである。Monthubert の [Mon99] や Nistor と Weinstein と Xu の [NWX99] にあるように。

角を持つ多様体の間の morphism, つまり角を持つ多様体の成す category を提案しているのは, Joyce [Joy12] である。その動機は, symplectic geometry のようであるが。

Joyce によると, Banach manifold への一般化は, Margalef Roig と Outerelo Domínguez の [MO92] に書かれているらしい。

境界をある方法で潰した manifold with edge という概念もある。 [NSS] では, そのK-theoryPoincaré duality が調べられている。

他の一般化としては, Joyce が考えているいくつかのものがある。

  • manifold with generalized corners [Joy16]
  • manifold with analytic corners [Joy]
  • \(C^{\infty }\)-scheme with corners [FJ]

References

[AM11]

Pierre Albin and Richard Melrose. “Resolution of smooth group actions”. In: Spectral theory and geometric analysis. Vol. 535. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011, pp. 1–26. arXiv: 1012.5765. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/535/10532.

[Baa73]

Nils Andreas Baas. “On bordism theory of manifolds with singularities”. In: Math. Scand. 33 (1973), 279–302 (1974). url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-11491.

[CD]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Homology and manifolds with corners. arXiv: math/0611839.

[Cer61]

Jean Cerf. “Topologie de certains espaces de plongements”. In: Bull. Soc. Math. France 89 (1961), pp. 227–380. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1961__89__227_0.

[Dav83]

Michael W. Davis. “Groups generated by reflections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space”. In: Ann. of Math. (2) 117.2 (1983), pp. 293–324. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007079.

[Dou62]

Adrien Douady. “Variétés à bord anguleux et voisinages tubulaires”. In: Séminaire Henri Cartan, 1961/62, Exp. 1. Secrétariat mathématique, Paris, 1961/1962, p. 11.

[FJ]

Kelli Francis-Staite and Dominic Joyce. \(C^\infty \)-algebraic geometry with corners. arXiv: 1911.01088.

[Jän68]

Klaus Jänich. “On the classification of \(O(n)\)-manifolds”. In: Math. Ann. 176 (1968), pp. 53–76. url: https://doi.org/10.1007/BF02052956.

[Joy]

Dominic Joyce. Manifolds with analytic corners. arXiv: 1605.05913.

[Joy12]

Dominic Joyce. “On manifolds with corners”. In: Advances in geometric analysis. Vol. 21. Adv. Lect. Math. (ALM). Int. Press, Somerville, MA, 2012, pp. 225–258. arXiv: 0910.3518.

[Joy16]

Dominic Joyce. “A generalization of manifolds with corners”. In: Adv. Math. 299 (2016), pp. 760–862. arXiv: 1501.00401. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.06.004.

[Lau00]

Gerd Laures. “On cobordism of manifolds with corners”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.12 (2000), 5667–5688 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02676-3.

[Mel]

Richard B. Melrose. Differential analysis on manifolds with corners. url: https://math.mit.edu/~rbm/book.html.

[MO92]

Juan Margalef Roig and Enrique Outerelo Domı́nguez. Differential topology. Vol. 173. North-Holland Mathematics Studies. With a preface by Peter W. Michor. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1992, pp. xvi+603. isbn: 0-444-88434-3.

[Mon99]

Bertrand Monthubert. “Pseudodifferential calculus on manifolds with corners and groupoids”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 127.10 (1999), pp. 2871–2881. arXiv: funct-an/9707008. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-99-04850-9.

[NSS]

V. E. Nazaikinskii, A. Yu. Savin, and B. Yu. Sternin. Poincaré isomorphism in \(K\)-theory on manifolds with edges. arXiv: 0711.4379.

[NWX99]

Victor Nistor, Alan Weinstein, and Ping Xu. “Pseudodifferential operators on differential groupoids”. In: Pacific J. Math. 189.1 (1999), pp. 117–152. arXiv: funct-an/9702004. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.1999.189.117.