ホモトピー群とホモトピー集合

ホモトピー群は, 1935年頃 Hurewicz により導入された, らしい。 その定義は難しくないが, 具体的にホモトピー群を決定することは一般に非常に困難なことである。

• 連続写像
• ホモトピー
• 基本群
• ホモトピー群
• ホモトピー作用素
• group of self-homotopy equivalences

Fox は, [Fox45; Fox48] で torus からの mapping space \(\mathrm {Map}(T^{n-1},X)\) の 基本群として, torus homotopy group というものを導入している。あまり一般的ではないが, Whitehead product と 基本群の高次ホモトピー群への作用を統一的に扱うために考えられたようである。

• torus homotopy group

ホモトピー群は, 球面あるいは球体を基準に考えた不変量であり, CW複体の世界では重要な意味を持つが, CW複体のホモトピー型を持たないような 変な空間については別の枠組みを考えた方がよい。例えば, Steenrod homotopy [Mel09] という世界がある。

矢印の向きを変え, 球面への写像のホモトピー類の集合として cohomotopy set を考えるときもある。ホモトピー論以外でも, Kirby と Melvin と Teichner の [KMT12] などで考えられている。彼等は, 4次元多様体から \(S^3\) へのホモトピー集合を考えている。 また, 4次元多様体との関係では, Bauer と Furuta [BF04] の stable cohomotopy 不変量もある。

写像を連続なものに制限するのも, ある意味不自然であり, 連続とは限らない写像のなす空間を考えている人もいる。

References

[BF04]

Stefan Bauer and Mikio Furuta. “A stable cohomotopy refinement of Seiberg-Witten invariants. I”. In: Invent. Math. 155.1 (2004), pp. 1–19. arXiv: math/0204340. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-003-0288-5.

[Fox45]

Ralph H. Fox. “Torus homotopy groups”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31 (1945), pp. 71–74.

[Fox48]

Ralph H. Fox. “Homotopy groups and torus homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 49 (1948), pp. 471–510. url: https://doi.org/10.2307/1969292.

[KMT12]

Robion Kirby, Paul Melvin, and Peter Teichner. “Cohomotopy sets of 4-manifolds”. In: Proceedings of the Freedman Fest. Vol. 18. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2012, pp. 161–190. arXiv: 1203.1608. url: https://doi.org/10.2140/gtm.2012.18.161.

[Mel09]

S. A. Melikhov. “Steenrod homotopy”. In: Uspekhi Mat. Nauk 64.3(387) (2009), pp. 73–166. arXiv: 0812.1407. url: https://doi.org/10.1070/RM2009v064n03ABEH004620.