ホモトピー群とホモトピー集合

ホモトピー群は, 1935年頃 Hurewicz により導入された, らしい。 その定義は難しくないが, 具体的にホモトピー群を決定することは一般に非常 に困難なことである。

ホモトピー群は, 球面あるいは球体を基準に考えた不変量であり, CW複体の世界では重要な意味を持つが, CW複体のホモトピー 型を持たないような変な空間については別の枠組 みを考えた方がよい。例えば, Steenrod homotopy [Mel09]という世 界がある。

逆に球面への写像のホモトピー類の集合として cohomotopy set を考えるとき もある。ホモトピー論以外でも, KirbyとMelvinとTeichnerの[KMT12] などで考えられている。彼等は, 4次元多様体 から \(S^3\) へのホモトピー集合を考えている。 また, 4次元多様体との関係では, BauerとFuruta [Bauer-Furuta2004]の stable cohomotopy 不変量もある。

写像を連続なものに制限するのも, ある意味不自然であり 連続とは限らない写像のなす空間を考えている人 もいる。

References

[KMT12]

Robion Kirby, Paul Melvin, and Peter Teichner. “Cohomotopy sets of 4-manifolds”. In: Proceedings of the Freedman Fest. Vol. 18. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2012, pp. 161–190. arXiv: 1203.1608. url: https://doi.org/10.2140/gtm.2012.18.161.

[Mel09]

S. A. Melikhov. “Steenrod homotopy”. In: Uspekhi Mat. Nauk 64.3(387) (2009), pp. 73–166. arXiv: 0812.1407. url: https://doi.org/10.1070/RM2009v064n03ABEH004620.