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Hochschild homology や algebraic \(K\)-theory などの環の (co)homology の定義が, ring
spectrum に一般化されている。 Algebraic \(K\)-theory の場合は, Rognes による解説 [Rog] がある。 ICM 2014
のためのもののようである。
これらはどれぐらい計算可能なのだろうか? 球面 spectrum の algebraic \(K\)-theory については Blumberg と
Mandel の [BM19] で調べられている。
これらは, spectral category に対しても定義できる。Dundas と McCarthy の [DM96] など。また
topological cyclic homology と topological Hochschild homology の中間の \(TR\) という構成もある。そして,
algebraic \(K\)-theory に類似の localization sequence があることを, Blumberg と Mandell が [BM12]
で示している。
Rognes らによると, algebraic \(K\)-theory functor と chromatic filtration には深い関係があるらしい。\(S\)-algebra
の algebraic \(K\)-theory を取ると chromatic filtration が一つ上がるという予想である。
Baker らの [BGR08] によると, topological André-Quillen homology の参考文献としては, [Bas99;
BM02; BR04; BM05; Man03] などがある。
Lurie [Lur] は, topological André-Quillen homology を absolute cotangent
complex と呼んでいる。Lurie の論文の目的は \(E_{\infty }\)-ring spectrum の圏での deformation theory
であるが。
古典的なホモロジー代数は, Grothendieck により derived category や triangulated category
の言葉で記述されていたが, ring spectrum 上のホモロジー代数では, それが model category や \((\infty ,1)\)-category
といったものに置き換わる。
Derived category には, 扱う chain complex に条件をつけて, bounded derived category
といったいくつかの種類が定義されているが, Greenlees とStevenson は, [GS20]で bounded derived category
の類似を提案している。
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