Quandle や rack などの self-distributive algebraic structure

Quandle や rack といった類いの「自己分配性」を持つ代数的構造は, 様々な分野で独立に再発見されてきたようである。 D. Joyce により [Joy82] で quandle という言葉が導入されたが, それとは独立に Matveev [Mat82] が distributive groupoid という言葉で考えている。 Quandle の条件を少し弱めた rack については, Brieskorn が [Bri88] で automorphic set という名前で考えたのが最初であると書いてある文献も多いが, Jackson の [Jac05] によると, 1959年に Conway と Wraith により最初に調べられているらしい。現在では, Fenn と Rourke [FR92] の導入した rack という言葉の方が一般的なようであるが。

更に, Kamada の [Kam02] によると, より古くは Takasaki により [Tak43] で考えられた kei がこの種の構造としては最初のようである。 少し条件を弱めた quasiquandle というものもある。Monoid に対する small category のような, quandle や rack の many-objectification である trunk というものもある。歴史的なことについては, Carter の survey [Car] を見てみるとよい。 結び目への応用を主眼に置いたものであるが。

• kei
• quandle
• rack または automorphic set
• quasiquandle ([Nag])
• trunk

これらの構造は結び目の研究者により色々調べられてきたが, pointed Hopf algebra や Yang-Baxter equation など, それ以外の様々な分野に関係することがわかっている。

鍵となるのは, braid群との関係である。 Huebschmann は, [Hue] で, braid群や crossed module も含めた「統一理論」ができないか, という問題提起を行なっているが, これは quandle や rack とbraid群との関係を知っている人なら, 一度は思ったことだろう。

結び目の研究者にとっては, 当然結び目の不変量との関係が重要で, quandle や rack に対しても多項式不変量が定義されている。

• quandle polynomial や rack polynomial [Nel08; Nel11; CN]

可換環上の加群になっていて, antisymmetric bilinear form を持つものが, symplectic quandleと呼ばれ, [NN] で調べられている。 2つの operation を持つ birack や biquandle というものなど, 他にも色々 variation が考えられている。

• symplectic quandle
• semiquandle [HN]
• biquandleや birack
• symmetric quandle [Kam07; KO]
• twisted quandle や twisted rack [Chu+a]

Biquandle や birack も含め, 位数の小さなものを計算機で求めよう, という試み [BF] もある。 また各位数について同型類の個数の上限と下限を調べている人 [Bla] もいる。

群の conjugation による自分自身への作用は, self-distributivity の代表的な例である。Self-distributivity だけを満たすものを, Scott Carter らは [Car+] で shelf と呼んでいる。

• shelf

彼らは, self distributivity を monoidal category で考えることにより, shelf や rack の概念が一般化できることを示している。その例として coalgebra の圏の shelf のコホモロジーも考えている。

Shelf の一般化として, 演算が複数あるものも考えられていて, multishelf と呼ばれている。Przytycki と Sikora [PS] は shelf や multishelf のホモロジーと rack や quandle のホモロジーを比較している。

• multishelf

Przytycki と Putyra [Prz11; PPa; PPb] は, 更に idempotency をみたす multispindle というものやそのホモロジーを考えている。

• multispindle

Quandleの定義の3つの式が結び目の Reidemeister move と対応しているように, 高次の結び目に対応する quandle の高次化があってもよさそうである。そのようなものの候補(?)として, Crans の thesis [Cra] に shelf の \(2\)次化が, 定義されている。 \(2\)-quandle という言葉は出てくるが, まだちゃんと定義されていないようである。 Math Overflowで質問してみたが, Carter の解答によるとやはり「考え中」のようである。

Lie群とLie algebra の関係を, Leibniz algebra に拡張したときに, Lie群に対応するものとして, rack かそれに類する構造を考えることが提案されている。 Kinyon の [Kin07] や Covez の [Cov] などである。 まだ全ての Leibniz algebra に対応するものは見つかっていないようであるが。

他には, Laver [Lav95] により導入された Laver table という構造もある。例えば, Dehornoy と Lebed の [DL] で調べられている。

• Laver table

各種代数的構造に対して, 複数の入力を持つ類似が考えられているが, quandle については Elhamdadi と Green [EGM16] により3つの入力を持つ類似が考えられている。

Singular knot theory に動機を持つものとして, singquandle というものが [Chu+b] で導入された。

• singquandle

加法と乗法の二つの演算を持つものが環であるが, その積を self-distributivity をもつものにした, qualgebra や shalgeba といった構 造を, Scott Carter と Lebed と Yang [CLY19]が調べている。

• qualgebra
• shalgebra

References

[BF]

Andrew Bartholomew and Roger Fenn. Biquandles of Small Size and some Invariants of Virtual and Welded Knots. arXiv: 1001.5127.

[Bla]

Simon R. Blackburn. Enumerating finite racks, quandles and kei. arXiv: 1203.6504.

[Bri88]

E. Brieskorn. “Automorphic sets and braids and singularities”. In: Braids (Santa Cruz, CA, 1986). Vol. 78. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988, pp. 45–115. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/078/975077.

[Car]

J. Scott Carter. A Survey of Quandle Ideas. arXiv: 1002.4429.

[Car+]

J. Scott Carter, Alissa Crans, Mohamed Elhamdadi, and Masahico Saito. Cohomology of Categorical Self-Distributivity. arXiv: math/ 0607417.

[Chu+a]

Indu R. U. Churchill, M. Elhamdadi, M. Green, and A. Makhlouf. \(f\)-Racks, \(f\)-Quandles, their Extensions and Cohomology. arXiv: 1606. 00353.

[Chu+b]

Indu R. U. Churchill, M. Elhamdadi, M. Hajij, and Sam Nelson. Singular Knots and Involutive Quandles. arXiv: 1608.08163.

[CLY19]

J. Scott Carter, Victoria Lebed, and Seung Yeop Yang. “A prismatic classifying space”. In: Nonassociative mathematics and its applications. Vol. 721. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, pp. 43–68. arXiv: 1711 . 06215. url: https://doi.org/10.1090/conm/721/14499.

[CN]

Tim Carrell and Sam Nelson. On rack polynomials. arXiv: 0809. 5075.

[Cov]

Simon Covez. The local integration of Leibniz algebras. arXiv: 1011. 4112.

[Cra]

Alissa S. Crans. Lie 2-Algebras. arXiv: math/0409602.

[DL]

Patrick Dehornoy and Victoria Lebed. Two- and three-cocycles for Laver tables. arXiv: 1401.2335.

[EGM16]

Mohamed Elhamdadi, Matthew Green, and Abdenacer Makhlouf. “Ternary distributive structures and quandles”. In: Kyungpook Math. J. 56.1 (2016), pp. 1–27. arXiv: 1403 . 7099. url: https://doi.org/10.5666/KMJ.2016.56.1.1.

[FR92]

Roger Fenn and Colin Rourke. “Racks and links in codimension two”. In: J. Knot Theory Ramifications 1.4 (1992), pp. 343–406. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216592000203.

[HN]

Allison Henrich and Sam Nelson. Semiquandles and flat virtual knots. arXiv: 0901.4315.

[Hue]

Johannes Huebschmann. Braids and crossed modules. arXiv: 0904. 3895.

[Jac05]

Nicholas Jackson. “Extensions of racks and quandles”. In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 151–167. arXiv: math/0408040. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839510.

[Joy82]

David Joyce. “A classifying invariant of knots, the knot quandle”. In: J. Pure Appl. Algebra 23.1 (1982), pp. 37–65. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90077-9.

[Kam02]

Seiichi Kamada. “Knot invariants derived from quandles and racks”. In: Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto, 2001). Vol. 4. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2002, 103–117 (electronic). arXiv: math/0211096. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2002.4.103.

[Kam07]

Seiichi Kamada. “Quandles with good involutions, their homologies and knot invariants”. In: Intelligence of low dimensional topology 2006. Vol. 40. Ser. Knots Everything. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, pp. 101–108. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812770967_0013.

[Kin07]

Michael K. Kinyon. “Leibniz algebras, Lie racks, and digroups”. In: J. Lie Theory 17.1 (2007), pp. 99–114. arXiv: math/0403509.

[KO]

Seiichi Kamada and Kanako Oshiro. Homology Groups of Symmetric Quandles and Cocycle Invariants of Links and Surface-links. arXiv: 0902.4277.

[Lav95]

Richard Laver. “On the algebra of elementary embeddings of a rank into itself”. In: Adv. Math. 110.2 (1995), pp. 334–346. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1995.1014.

[Mat82]

S. V. Matveev. “Distributive groupoids in knot theory”. In: Mat. Sb. (N.S.) 119(161).1 (1982), pp. 78–88, 160.

[Nag]

Sriram Nagaraj. Quandle-like Structures From Groups. arXiv: 0808. 2839.

[Nel08]

Sam Nelson. “A polynomial invariant of finite quandles”. In: J. Algebra Appl. 7.2 (2008), pp. 263–273. arXiv: math/0702038. url: https://doi.org/10.1142/S0219498808002801.

[Nel11]

Sam Nelson. “Generalized quandle polynomials”. In: Canad. Math. Bull. 54.1 (2011), pp. 147–158. arXiv: 0801.2979. url: https://doi.org/10.4153/CMB-2010-090-x.

[NN]

Esteban Adam Navas and Sam Nelson. On symplectic quandles. arXiv: math/0703727.

[PPa]

Jozef H. Przytycki and Krzysztof K. Putyra. Homology of Distributive Lattices. arXiv: 1111.4772.

[PPb]

Jozef H. Przytycki and Krzysztof K. Putyra. The degenerate distributive complex is degenerate. arXiv: 1411.5905.

[Prz11]

Józef H. Przytycki. “Distributivity versus associativity in the homology theory of algebraic structures”. In: Demonstratio Math. 44.4 (2011), pp. 823–869. arXiv: 1109.4850.

[PS]

Jozef H. Przytycki and Adam S. Sikora. Distributive Products and Their Homology. arXiv: 1105.3700.

[Tak43]

M. Takasaki. “Abstraction of symmetric transformations”. In: Tôhoku Math. J. 49 (1942/43). In Japanese, pp. 145–207.