Birack や biquandle

二つの operation \(B_1:X\times X\to X\), \(B_2:X\times X\to X\) を持ち \(B=B_1\times B_2:X\times X\to X\times X\) が set-theoretic Yang-Baxter equation などの条件を満たすものを birack という。

• birack

\(B_2\) が第1成分への射影のときが, rack である。

Nelson と Watterberg [NW13] によると, Fenn と Rourke と Sanderson [FRS93] により knot や link の blackboard-framed Reidemeister move を公理化するために導入された。

Quandle や kei などの “bi” 版も考えられている。

• biquandle [KR03]
• bikei [AN]

Biquandle の (co)homology として, Carter, Elhamdadi, Saito [CES04] が導入したものは, Ceniceros と Elhamdadi と Green と Nelson [Cen+] では, Yang-Baxter (co)homology と呼ばれている。

Ceniceros らは augmented birack という birack の変種を導入し, Yang-Baxter (co)homology の拡張を定義している。

• augmented birack

References

[AN]

Sinan Aksoy and Sam Nelson. Bikei, Involutory Biracks and unoriented link invariants. arXiv: 1102.1473.

[Cen+]

Jose Ceniceros, Mohamed Elhamdadi, Matthew Green, and Sam Nelson. Augmented Biracks and their Homology. arXiv: 1309.1678.

[CES04]

J. Scott Carter, Mohamed Elhamdadi, and Masahico Saito. “Homology theory for the set-theoretic Yang-Baxter equation and knot invariants from generalizations of quandles”. In: Fund. Math. 184 (2004), pp. 31–54. arXiv: math/0206255. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm184-0-3.

[FRS93]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “An introduction to species and the rack space”. In: Topics in knot theory (Erzurum, 1992). Vol. 399. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1993, pp. 33–55.

[KR03]

Louis H. Kauffman and David Radford. “Bi-oriented quantum algebras, and a generalized Alexander polynomial for virtual links”. In: Diagrammatic morphisms and applications (San Francisco, CA, 2000). Vol. 318. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003, pp. 113–140. arXiv: math/0112280. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/318/05548.

[NW13]

Sam Nelson and Emily Watterberg. “Birack dynamical cocycles and homomorphism invariants”. In: J. Algebra Appl. 12.8 (2013), pp. 1350049, 14. arXiv: 1205.4347. url: https://doi.org/10.1142/S0219498813500497.