Generalizations and Variations of Exact Categories

Quillen [Qui73] は, algebraic \(K\)-theory の定義のために exact category の概念を導入したが, その後, 様々な目的のために様々な方向に一般化されている。

まず, algebraic \(K\)-theory のためには, Waldhausen category (category with cofibrations and weak equivalences) がある。

• Waldhausen category

Huayi Chen は, [Che10] で exact category を一般化した arithmetic exact category という概念を定義している。ベクトル束の Harder-Narasimhan filtration を考えているなど, Bridgeland の意味の stability とどのように関係があるのか興味深い。

一般化としては, Bazzoni と Crivei の one-sided exact category [BC13] もある。そこでは, Rosenberg の preprint や Rump の [Rum10] などが挙げられている。

• left exact category と right exact category

Additive でない category への一般化として, Dyckerhoff と Kapranov [DK] が proto-exact category とその Waldhausen \(S\)-construction や Hall algebra を導入している。Hekking の master’s thesis [Hek17] や Eppolito, Jun, Szczesny の pointed matroid と strong map を調べた [EJS20] で使われている。 Jun と Sistko [JS23] によると \(\F _{1}\) 上の quiver の表現の圏も proto-exact category になるようである。

• proto-exact category

Nakaoka と Palu [NP19] は exact category と triangulated category の共通の一般化として extriangulated category という概念を導入している。

• extriangulated category

Barwick [Bar15; Bar] は \((\infty ,1)\)-category への一般化を考えて, その algebraic \(K\)-theory を調べている。

• exact \((\infty ,1)\)-category

DG category からは, dg nerve を取ることにより quasicategory が得られるが, その上の Barwick の意味の exact structure に対応する dg category 上の構造として, Xiaofa Chen の thesis [Cheb] で導入された exact dg category がある。 Chen の [Chea] の Introduction にある図が分かり易い。 同じ名前のものとして, Positselski [Pos] によるものもある。

• Positselski’s exact dg category
• Chen’s exact dg category

他には, 次のような一般化や変種がある。

• CGW category [CZ22]
• ACGW category [CZ22]
• ECGW category [SS]
• \(n\)-exact category [Jas16]
• \(n\Z \)-exact category [EN23]
• weakly exact category [Jaf]
• relative exact category [HM]
• complicial exact category [Sch11]
• A.I.S exact category [HR]
• semi-exact category [DGG17]
• exact category with duality [Sch10]
• exact form category [Sch21]

References

[Bar]

C. Barwick. On the \(Q\) construction for exact quasicategories. arXiv: 1301.4725.

[Bar15]

Clark Barwick. “On exact \(\infty \)-categories and the theorem of the heart”. In: Compos. Math. 151.11 (2015), pp. 2160–2186. arXiv: 1212.5232. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007447.

[BC13]

Silvana Bazzoni and Septimiu Crivei. “One-sided exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 217.2 (2013), pp. 377–391. arXiv: 1106.1092. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.06.019.

[Chea]

Xiaofa Chen. Exact dg categories I : Foundations. arXiv: 2402.10694.

[Cheb]

Xiaofa Chen. On exact dg categories. arXiv: 2306.08231.

[Che10]

Huayi Chen. “Harder-Narasimhan categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.2 (2010), pp. 187–200. arXiv: 0706.2648. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.05.009.

[CZ22]

Jonathan A. Campbell and Inna Zakharevich. “Dévissage and localization for the Grothendieck spectrum of varieties”. In: Adv. Math. 411.part A (2022), Paper No. 108710, 80. arXiv: 1811.08014. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108710.

[DGG17]

Jérémy Dubut, Eric Goubault, and Jean Goubault-Larrecq. “Directed homology theories and Eilenberg-Steenrod axioms”. In: Appl. Categ. Structures 25.5 (2017), pp. 775–807. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9438-y.

[DK]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces I. arXiv: 1212.3563.

[EJS20]

Chris Eppolito, Jaiung Jun, and Matt Szczesny. “Proto-exact categories of matroids, Hall algebras, and K-theory”. In: Math. Z. 296.1-2 (2020), pp. 147–167. arXiv: 1805.02281. url: https://doi.org/10.1007/s00209-019-02429-z.

[EN23]

Ramin Ebrahimi and Alireza Nasr-Isfahani. “\(n\Bbb Z\)-abelian and \(n\Bbb Z\)-exact categories”. In: Q. J. Math. 74.4 (2023), pp. 1545–1570. arXiv: 2202.06711. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haad035.

[Hek17]

J. Hekking. Segal Objects in Homotopical Categories & \(K\)-theory of Proto-exact Categories. 2017. url: https://www.universiteitleiden.nl/binaries/content/assets/science/mi/scripties/master/hekking_master.pdf.

[HM]

Toshiro Hiranouchi and Satoshi Mochizuki. Delooping of relative exact categories. arXiv: 1304.0557.

[HR]

Souheila Hassoun and Sunny Roy. Admissible intersection and sum property. arXiv: 1906.03246.

[Jaf]

Amir Jafari. Weakly exact categories and the snake lemma. arXiv: 0901.2372.

[Jas16]

Gustavo Jasso. “\(n\)-abelian and \(n\)-exact categories”. In: Math. Z. 283.3-4 (2016), pp. 703–759. arXiv: 1405.7805. url: https://doi.org/10.1007/s00209-016-1619-8.

[JS23]

Jaiung Jun and Alexander Sistko. “On quiver representations over \(\F _1\)”. In: Algebr. Represent. Theory 26.1 (2023), pp. 207–240. arXiv: 2008.11304. url: https://doi.org/10.1007/s10468-021-10092-4.

[NP19]

Hiroyuki Nakaoka and Yann Palu. “Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 60.2 (2019), pp. 117–193. arXiv: 1605.05607.

[Pos]

Leonid Positselski. Exact DG-categories and fully faithful triangulated inclusion functors. arXiv: 2110.08237.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[Rum10]

Wolfgang Rump. “Flat covers in abelian and in non-abelian categories”. In: Adv. Math. 225.3 (2010), pp. 1589–1615. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.03.027.

[Sch10]

Marco Schlichting. “Hermitian \(K\)-theory of exact categories”. In: J. K-Theory 5.1 (2010), pp. 105–165. url: http://dx.doi.org/10.1017/is009010017jkt075.

[Sch11]

Marco Schlichting. “Higher algebraic \(K\)-theory”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2011, pp. 167–241. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_4.

[Sch21]

Marco Schlichting. “Higher \(K\)-theory of forms I. From rings to exact categories”. In: J. Inst. Math. Jussieu 20.4 (2021), pp. 1205–1273. url: https://doi.org/10.1017/S1474748019000410.

[SS]

Maru Sarazola and Brandon Shapiro. A Gillet-Waldhausen Theorem for chain complexes of sets. arXiv: 2107.07701.