Generalizations and Variations of Exact Categories

Quillen [Qui73] は, algebraic \(K\)-theory の定義のために exact category の概念を導入したが, その後, 様々な目的のために様々な方向に一般化されている。

まず, algebraic \(K\)-theory のためには, Waldhausen category (category with cofibrations and weak equivalences) がある。

Huayi Chen は, [Che10] で exact category を一般化した arithmetic exact category という概念を定義している。ベクトル束の Harder-Narasimhan filtration を考えているなど, Bridgeland の意味の stability とどのように関係があるのか興味深い。

一般化としては, Bazzoni と Crivei の one-sided exact category [BC13] もある。そこでは, Rosenberg の preprint や Rump の [Rum10] などが挙げられている。

  • left exact category と right exact category

Additive でない category への一般化として, Dyckerhoff と Kapranov [DK] が proto-exact category とその Waldhausen \(S\)-constructionHall algebra を導入している。Hekking の master’s thesis [Hek17] や Eppolito, Jun, Szczesny の pointed matroid と strong map を調べた [EJS20] で使われている。 Jun と Sistko [JS23] によると \(\F _{1}\) 上の quiver の表現の圏も proto-exact category になるようである。

  • proto-exact category

Nakaoka と Palu [NP19] は exact category と triangulated category の共通の一般化として extriangulated category という概念を導入している。

  • extriangulated category

Barwick [Bar15; Bar] は \((\infty ,1)\)-category への一般化を考えて, その algebraic \(K\)-theory を調べている。

  • exact \((\infty ,1)\)-category

Dg category からは, dg nerve を取ることにより quasicategory が得られるが, その上の Barwick の意味の exact structure に対応する dg category 上の構造として, Xiaofa Chen の thesis [Cheb] で導入された exact dg category がある。 Chen の [Chea] の Introduction にある図が分かり易い。

  • exact dg category

他には, 次のような一般化や変種がある。

  • CGW category [CZ22]
  • ACGW category [CZ22]
  • ECGW category [SS]
  • \(n\)-exact category [Jas16]
  • \(n\Z \)-exact category [EN]
  • weakly exact category [Jaf]
  • relative exact category [HM]
  • complicial exact category [Sch11]
  • A.I.S exact category [HR]
  • semi-exact category [DGG17]
  • exact category with duality [Sch10]



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