Representations over 𝔽1

基点付き集合を \(\F _{1}\) 上のベクトル空間として, \(\F _{1}\) 上のベクトル空間の圏 \(\category {Vect}(\F _{1})\) が定義される。 その射は, 単なる基点を保つ写像ではなく, 基点に写らない点上では単射になっている写像であるが。

もちろん, この圏は Abel 圏はおろか, additive category にもなっていない。ところが, 面白いのは, \(\category {Vect}(\F _{1})\) は, Dyckerhoff と Kapranov が [DK; DK19] で導入した proto-exact category になっていることである。

よって, Hall algebra などが定義できるし, \(\F _{1}\) 上の表現を考えることもできる。 それらを最初に考えたのは Szczesny の [Szc12] だと思うが, Dyckerhoff と Kapranov の仕事が登場する前なので, proto-exact category という概念は使われていいない。 最初に proto-exact category であることに気がついたのは, Jun と Sistko [JS23] だろうか。

この Jun と Sistko の論文は, \(\F _{1}\) 上の quiver の表現について調べている。 Quiver の表現といえば, finite representation type なものが ADE 型だけであるという Gabriel の定理 [Gab72] であるが, Jun と Sistko は, \(\F _{1}\) 上の表現について, その類似が成り立つかどうかを考えている。 興味深いことに, \(\F _{1}\) 上で finite representation type である必要十分条件は, tree であることのようである。

Fu と Ran と Yang の [FRY] では, \(\category {Rep}(Q,\F _{1})\) の global dimension などが調べられている。

References

[DK]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces I. arXiv: 1212.3563.

[DK19]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces. Vol. 2244. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xv+218. isbn: 978-3-030-27122-0; 978-3-030-27124-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-27124-4.

[FRY]

Changjian Fu, Longjun Ran, and Liang Yang. On homological properties of the category of \(\mathbb {F}_1\)-representations over a linear quiver of type \(\mathbb {A}_n\). arXiv: 2309.06136.

[Gab72]

Peter Gabriel. “Unzerlegbare Darstellungen. I”. In: Manuscripta Math. 6 (1972), 71–103, correction, ibid. 6 (1972), 309.

[JS23]

Jaiung Jun and Alexander Sistko. “On quiver representations over \(\F _1\)”. In: Algebr. Represent. Theory 26.1 (2023), pp. 207–240. arXiv: 2008. 11304. url: https://doi.org/10.1007/s10468-021-10092-4.

[Szc12]

Matt Szczesny. “Representations of quivers over \(\F _1\) and Hall algebras”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 10 (2012), pp. 2377–2404. arXiv: 1006.0912.