Quillen Exact Category

Exact category と呼ばれるものには2種類ある。1つは, Barr により [Bar71] で, もう1つは, Quillen により [Qui73] で導入された概念である。共に Abelian category の一般化 となっているものであるが, Barr のものと Quillen のものは別のものである。

ここでは, 主に Quillen の意味の exact category について書く。大雑把に言えば, additive category で “short exact sequence” とみなすべき列が指定されている圏のことである。Keller の [Kel90] の Appendix A には, Quillen の定義を簡潔にしたものが書いてある。

解説としては, Bühler の [Büh10] がある。歴史的に, Quillen の定義の元になった仕事についても簡単ではあるが書いてある。例えば, Heller の [Hel58] や Yoneda の [Yon60] など。そして derived category の構成についても書かれているので, まずはこの解説から始めてもよいかもしれない。

Exact category の derived category については, Bühler の解説の他に Neeman の [Nee90], Keller の [Kel99], Muro の [Mur08], Sauter の Habilitationsschrift [Sau25] などにも書かれている。

• exact category の derived category

当然, Abelian category は short exact sequence 達により exact category の構造を持つ。Abelian category の full subcategory になっているような additive category の場合, その Abelian category で short exact になっている列で, 更にある条件をみたすものを exact として exact category になっていることが多い。例えば split short exact sequence や pure exact sequence [Cra94; Sto] など。

• split exact structure
• pure exact structure

もちろん, Abelian category に埋め込まれている必要は全くない。Quillen の original の定義でも, (Quillen なので当然であるが) Abelian category への埋め込みを用いずに抽象的に定義されている。

もっとも, Quillen の公理をみたす exact category は Abelian category に exact category として埋め込むことができるので, 実際には Abelian category の subcategory で議論してかまわない。これも Quillen の [Qui73] に書いてある。証明は, Bühler の [Büh10] の Appendix を見るのがよいだろう。

• exact category の間の exact functor
• exact category は Abelian category に exact category として埋め込むことができる

Meyer [Mey] は, topological algebra ( bornological algebra) 上の module の圏で ホモロジー代数を行う際に, exact category とその局所化を用いることを提案している。 Quasi-Abelian category にもなるので, Schneiders の derived category [Sch99] が使えそうなものだが, Meyer の目的にはそれではダメらしい。

Sieg と Wegner [SW11] は, quasiabelian category や semiabelian category のような additive category で kernel と cokernel を持つようなものには maximal exact structure があることを示しているが, その動機は, 関数解析に出てくる topological vector space の圏で, ホモロジー代数を行なうことである。

Wegner [Weg17] によると, Banach space の category の “Abelianization” としては, Beilinson, Bernstein, Deligne が [BBD82] で提案している方法がある。Exact category から derived category を作り, そこに \(t\)-structure を定義し, その heart として Abelian category を作るものである。元は, Waelbroeck [Wae05] によるものであるが, Waelbroeck は直接 “formal quotient” を用いて構成している。

Exact category からは, 無限ループ空間を作ることができる。 それにより, Quillen [Qui73] は exact category の algebraic \(K\)-theory を定義した。

• exact category の Grothendieck group
• exact category \(M\) に対しその\(Q\)-construction \(QM\)
• \(QM\) は直和により symmetric monoidal category になり, よってその 分類空間 \(BQM\) は無限ループ空間になる
• \(\pi _1(BQM)\) は \(M\) の Grothendieck group \(K_0(M)\) と同型

最近では, より一般的な場合に適用できる Waldhausen の \(S\)-construction を用いるのが普通だと思う。

• exact category を Waldhausen category とみなすことができる
• Waldhausen の \(S\)-construction
• exact category の higher algebraic \(K\)-theory

このように, Waldhausen category は exact category の一般化の一つであるが, 他にも様々な一般化が考えられている。

• exact category の一般化や変種

References

[Bar71]

Michael Barr. “Exact categories”. In: Lecture Notes in Mathematics : Exact Categories and Categories of Sheaves. 1971, pp. 1–120. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0058580.

[BBD82]

A. A. Beı̆linson, J. Bernstein, and P. Deligne. “Faisceaux pervers”. In: Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981). Vol. 100. Astérisque. Paris: Soc. Math. France, 1982, pp. 5–171. url: http://numdam.org/item/AST_1982__100__1_0/.

[Büh10]

Theo Bühler. “Exact categories”. In: Expo. Math. 28.1 (2010), pp. 1–69. arXiv: 0811.1480. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.exmath.2009.04.004.

[Cra94]

William Crawley-Boevey. “Locally finitely presented additive categories”. In: Comm. Algebra 22.5 (1994), pp. 1641–1674. url: https://doi.org/10.1080/00927879408824927.

[Hel58]

Alex Heller. “Homological algebra in abelian categories”. In: Ann. of Math. (2) 68 (1958), pp. 484–525. url: https://doi.org/10.2307/1970153.

[Kel90]

Bernhard Keller. “Chain complexes and stable categories”. In: Manuscripta Math. 67.4 (1990), pp. 379–417. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02568439.

[Kel99]

Bernhard Keller. “On the cyclic homology of exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 136.1 (1999), pp. 1–56. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00152-7.

[Mey]

Ralf Meyer. Embeddings of derived categories of bornological modules. arXiv: math/0410596.

[Mur08]

Fernando Muro. “Maltsiniotis’s first conjecture for \(K_1\)”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 4 (2008), Art. ID rnm153, 31. arXiv: 0707.1892.

[Nee90]

Amnon Neeman. “The derived category of an exact category”. In: J. Algebra 135.2 (1990), pp. 388–394. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(90)90296-Z.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[Sau25]

Julia Sauter. “Homological Theory of Exact Categories”. PhD thesis. Bielefeld University, Apr. 2025. url: https://www.math.uni-bielefeld.de/~jsauter/Habilitation-Sauter.pdf.

[Sch99]

Jean-Pierre Schneiders. “Quasi-abelian categories and sheaves”. In: Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 76 (1999), pp. vi+134.

[Sto]

Jan Stovicek. On purity and applications to coderived and singularity categories. arXiv: 1412.1615.

[SW11]

Dennis Sieg and Sven-Ake Wegner. “Maximal exact structures on additive categories”. In: Math. Nachr. 284.16 (2011), pp. 2093–2100. arXiv: 1406.7192. url: https://doi.org/10.1002/mana.200910154.

[Wae05]

Lucien Waelbroeck. Bornological quotients. Mémoire de la Classe des Sciences. Collection in-4\(^\mathrm {o}\). 3\(^\mathrm {e}\) Série [Memoir of the Science Section. Collection in-4\(^\mathrm {o}\). 3rd Series], VII. With the collaboration of Guy Noël. Académie Royale de Belgique. Classe des Sciences, Brussels, 2005, p. 251. isbn: 2-8031-0212-9. url: https://www.academieroyale.be/Academie/documents/WalbroeckBornological13942.pdf.

[Weg17]

Sven-Ake Wegner. “The heart of the Banach spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 221.11 (2017), pp. 2880–2909. arXiv: 1608.00424. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.02.006.

[Yon60]

Nobuo Yoneda. “On Ext and exact sequences”. In: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 8 (1960), 507–576 (1960).