Exact category と呼ばれるものには2種類ある。1つは, Barr により [Bar71] で, もう1つは, Quillen により
[Qui73] で導入された概念である。共に Abelian category の一般化となっているものであるが, Barr のものと Quillen
のものは別のものである。
ここでは, 主に Quillen の意味の exact category について書く。大雑把に言えば, additive category で
“short exact sequence” とみなすべき列が指定されている圏のことである。Keller の [Kel90] の Appendix A には,
Quillen の定義を簡潔にしたものが書いてある。
解説としては, Bühler の [Büh10] がある。歴史的に, Quillen の定義の元になった仕事についても簡単ではあるが書いてある。例えば,
Heller の [Hel58] や Yoneda の [Yon60] など。そして derived category の構成についても書かれているので,
まずはこの解説から始めてもよいかもしれない。
当然, Abelian category は short exact sequence 達により exact category の構造を持つ。Abelian
category の full subcategory になっているような additive category の場合, その Abelian category で
short exact になっている列で, 更にある条件をみたすものを exact として exact category になっていることが多い。例えば
split short exact sequence など。
もちろん, Abelian category に埋め込まれている必要は全くない。Quillen の original の定義でも, (Quillen
なので当然であるが) Abelian category への埋め込みを用いずに抽象的に定義されている。
もっとも, Quillen の公理をみたす exact category は Abelian category に exact category
として埋め込むことができるので, 実際には Abelian category の subcategory で議論してかまわない。これも Quillen の
[Qui73] に書いてある。証明は, Bühler の [Büh10] の Appendix を見るのがよいだろう。
- exact category の間の exact functor
- exact category は Abelian category に exact category として埋め込むことができる
Abelian category の derived category の構成を exact category に対して拡張することもできる。Neeman
の [Nee90], Keller の [Kel99], Muro の [Mur08], Bühler の [Büh10] などを見るとよい。
- exact category の derived category
Meyer [Mey] は, topological algebra (bornological algebra) 上の module
の圏でホモロジー代数を行う際に, exact category とその局所化を用いることを提案している。 Quasi-Abelian
category にもなるので, Schneiders の derived category [Sch99] が使えそうなものだが, Meyer
の目的にはそれではダメらしい。
Sieg と Wegner [SW] は, quasiabelian category や semiabelian category のような
additive category で kernel と cokernel を持つようなものには maximal exact structure
があることを示しているが, その動機は, 関数解析に出てくる topological vector space の圏で, ホモロジー代数を行なうことである。
Exact category からは, 無限ループ空間を作ることができる。 それにより, Quillen [Qui73] は exact category
の algebraic \(K\)-theory を定義した。
最近では, より一般的な場合に適用できる Waldhausen の \(S\)-construction を用いるのが普通だと思う。
このように, Waldhausen category は exact category の一般化の一つであるが, 他にも様々な一般化が考えられている。
References
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