Enhanced Triangulated Categories

Triangulated category の概念は, 代数幾何学と安定ホモトピー論で独立に発見されたものであり, その意味では, ホモロジー代数を行なうための自然な枠組みと言えるだろう。

しかしながら, algebra や scheme にその derived category を対応させ, derived category を元の代数的あるいは幾何学的対象の代わりに用いることを考えると, 様々な欠点が目につくようになる。そのため, derived category の構成で homotopy category をとる前, 例えば dg category の段階で考えようという動きが現れた。

Bondal と Kapranov は, [BK90] で homotopy category が triangulated category になるような dg category に対する条件を考えた。 その 論文のタイトルは “framed triangulated category” と訳されることもあるようであるが, “enhanced triangulated category” と訳される方が popular だと思う。このページの参考文献は AMS の MR lookup から取得したデータであり, 前者になっているが。

基本的な問題としては, Canonaco と Neeman と Stellari の [CNSb] に書かれているように, 次の3つがある:

1. 全ての triangulated category が enhancement を持つか?
2. enhancement は unique か?
3. triangulated functor は enhancement の間の functor に lift するか?

何も条件をつけないと, これらの問題に対する答えは全て No である。 反例が得られた文献などは, 上記の Canonaco らの survey に挙げられている。 ただ, enhancement が unique である triangulated category も色々発見されている。 Grothendieck Abelian category の derived category など。 Lunts と Orlov の [LO10], Canonaco と Stellari の [CS18] など。 Antieau [Ant] は stable \(\infty \)-category を使っている。Canonaco, Neeman, Stellari [CNSa] は, Antieau で open and challenging problem とされている場合を証明している。

この Antieau のアプローチのように enhanced triangulated category の構成には, dg category 以外にもいくつかの方法がある。

• dg category
• \(A_{\infty }\)-category ([BLM08])
• stable model category
• spectral category
• stable \(\infty \)-category
• derivator
• (co)simplcial descent category [Gona; Gonb; Rod12]

これらは共通の目的を持つということ以外でも, お互いに補い合ったりして密接に関係している。例えば, Tabuada の [Tab08] では, dg category を調べるために derivator が用いられている。 更に, モデル圏の理論も重要な役割を果している。

Chain complex の category の場合には, Mirmohades の [Mir] で提案されている lax nerve の成す圏もある。

Ben-Zvi と Francis と Nadlerの [BFN10] によると, 標数 \(0\) では pretriangulated dg category と pretriangulated \(A_{\infty }\)-category と stable \((\infty ,1)\)-category は本質的に同じになるようである。

その “folklore theorem” の証明として Cohn の [Coh] が出た。 そこでは標数0の体上で pretriangulated dg category の \((\infty ,1)\)-category と \(k\)-linear stable \((\infty ,1)\)-category の \((\infty ,1)\)-category が \((\infty ,1)\)-category として同値であることが示されている。

Toën と Vezzosi の [TV04] の “Final Comments” では, simplcial category と derivator の関係について, 簡単に著者らの持つ印象が述べられている。

References

[Ant]

Benjamin Antieau. On the uniqueness of infinity-categorical enhancements of triangulated categories. arXiv: 1812.01526.

[BFN10]

David Ben-Zvi, John Francis, and David Nadler. “Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.4 (2010), pp. 909–966. arXiv: 0805.0157. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00669-7.

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[BLM08]

Yu. Bespalov, V. Lyubashenko, and O. Manzyuk. Pretriangulated \(A_{\infty }\)-categories. Vol. 76. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Mathematics and its Applications. Natsı̄onal\('\)na Akademı̄ya Nauk Ukraı̈ni, Īnstitut Matematiki, Kiev, 2008, p. 599. isbn: 978-966-02-4861-8.

[CNSa]

Alberto Canonaco, Amnon Neeman, and Paolo Stellari. Uniqueness of enhancements for derived and geometric categories. arXiv: 2101.04404.

[CNSb]

Alberto Canonaco, Amnon Nemman, and Paolo Stellari. Uniqueness of enhancements of triangulated categories. url: https://sites.unimi.it/stellari/Research/Papers/zag.pdf.

[Coh]

Lee Cohn. Differential Graded Categories are \(k\)-linear Stable Infinity Categories. arXiv: 1308.2587.

[CS18]

Alberto Canonaco and Paolo Stellari. “Uniqueness of dg enhancements for the derived category of a Grothendieck category”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 20.11 (2018), pp. 2607–2641. arXiv: 1507.05509. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/820.

[Gona]

Beatriz Rodriguez Gonzalez. Simplicial Descent Categories. arXiv: 0804.2154.

[Gonb]

Beatriz Rodriguez Gonzalez. Triangulated structures induced by simplicial descent categories. arXiv: 0808.3681.

[LO10]

Valery A. Lunts and Dmitri O. Orlov. “Uniqueness of enhancement for triangulated categories”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.3 (2010), pp. 853–908. arXiv: 0908.4187. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00664-8.

[Mir]

Djalal Mirmohades. Simplicial Structure on Complexes. arXiv: 1404.0628.

[Rod12]

Beatriz Rodrı́guez González. “Simplicial descent categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.4 (2012), pp. 775–788. arXiv: 0808.3684. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.10.003.

[Tab08]

Gonçalo Tabuada. “Higher \(K\)-theory via universal invariants”. In: Duke Math. J. 145.1 (2008), pp. 121–206. arXiv: 0706.2420. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2008-049.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.