Enhanced Triangulated Categories

Triangulated category の概念は, 代数幾何学と 安定ホモトピー論で独立に発見されたものであり, その意味では, ホモロジー代数を行なうための自然な枠組みと言えるだろう。

しかしながら, algebra や scheme にその derived category を対応させ, derived category を元の代数的あるいは幾何学的対象の代わりに用いることを考えると, 様々な欠点が目につくようになる。そのため, derived category の構成で homotopy category をとる前, 例えば dg category の段階で考えようという動きが現れた。

Bondal と Kapranov は, [BK90] で homotopy category が triangulated category になるような dg category に対する条件を考えた。 その 論文のタイトルは “framed triangulated category” と訳されることもあるようであるが, “enhanced triangulated category” と訳される方が popular だと思う。このページの参考文献は AMS の MR lookup から取得したデータであり, 前者になっているが。

Triangulated category が, 代数的トポロジーでも stable homotopy category として独立に発見されたことから分かるように, triangulated category を enhance する方法は, dg category 以外にも色々ある。

• dg category
• \(A_{\infty }\)-category ([BLM08])
• stable model category
• spectral category
• stable \(\infty \)-category
• derivator
• (co)simplcial descent category [Gon; Rod; Rod12]

これらは共通の目的を持つということ以外でも, お互いに補い合ったりして密接に関係している。例えば, Tabuada の [Tab08] では, dg category を調べるために derivator が用いられている。 更に, モデル圏の理論も重要な役割を果している。

Chain complex の category の場合には, Mirmohades の [Mir] で提案されている lax nerve の成す圏もある。

基本的な問題としては, Canonaco と Neeman と Stellari の [CNS] に書かれているように, 次の3つがある:

1. 全ての triangulated category が enhancement を持つか?
2. enhancement は unique か?
3. triangulated functor は enhancement の間の functor に lift するか?

何も条件をつけないと, これらの問題に対する答えは全て No である。 反例が得られた文献などは, 上記の Canonaco らの survey に挙げられている。

ただ, enhancement が unique である triangulated category も色々発見されている。 Schwede [Sch01; Sch07] は, stable model category による enhancement のときに, rigid という表現を使っている。

• rigid triangulated category あるいは enhancement の uniqueness

Ben-Zvi と Francis と Nadlerの [BFN10] によると, 標数 \(0\) では pretriangulated dg category と pretriangulated \(A_{\infty }\)-category と stable \((\infty ,1)\)-category は本質的に同じになるようである。

その “folklore theorem” の証明として Cohn の [Coh] が出た。 そこでは標数0の体上で pretriangulated dg category の \((\infty ,1)\)-category と \(k\)-linear stable \((\infty ,1)\)-category の \((\infty ,1)\)-category が \((\infty ,1)\)-category として同値であることが示されている。

Toën と Vezzosi の [TV04] の “Final Comments” では, simplcial category と derivator の関係について, 簡単に著者らの持つ印象が述べられている。

Triangulated category が monoidal structure を持つとき, つまり tensor triangulated category のときは, monoidal structure を含めた enhancement が欲しい。Balchin と Greenlees [BG20] は model という言葉を使っているが。この論文で考えられたものは adelic model と呼ばれているが, [Bal+] では別の model が提案されている。

References

[Bal+]

Scott Balchin, J. P. C. Greenlees, Luca Pol, and Jordan Williamson. Torsion models for tensor-triangulated categories. arXiv: 2501.05180.

[BFN10]

David Ben-Zvi, John Francis, and David Nadler. “Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.4 (2010), pp. 909–966. arXiv: 0805.0157. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00669-7.

[BG20]

Scott Balchin and J. P. C. Greenlees. “Adelic models of tensor-triangulated categories”. In: Adv. Math. 375 (2020), pp. 107339, 45. arXiv: 1903.02669. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2020.107339.

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[BLM08]

Yu. Bespalov, V. Lyubashenko, and O. Manzyuk. Pretriangulated \(A_{\infty }\)-categories. Vol. 76. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Mathematics and its Applications. Natsı̄onal\('\)na Akademı̄ya Nauk Ukraı̈ni, Īnstitut Matematiki, Kiev, 2008, p. 599. isbn: 978-966-02-4861-8.

[CNS]

Alberto Canonaco, Amnon Nemman, and Paolo Stellari. Uniqueness of enhancements of triangulated categories. url: https://sites.unimi.it/stellari/Research/Papers/zag.pdf.

[Coh]

Lee Cohn. Differential Graded Categories are \(k\)-linear Stable Infinity Categories. arXiv: 1308.2587.

[Gon]

Beatriz Rodriguez Gonzalez. Simplicial Descent Categories. arXiv: 0804.2154.

[Mir]

Djalal Mirmohades. Simplicial Structure on Complexes. arXiv: 1404.0628.

[Rod]

Beatriz Rodriguez Gonzalez. Triangulated structures induced by simplicial descent categories. arXiv: 0808.3681.

[Rod12]

Beatriz Rodríguez González. “Simplicial descent categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.4 (2012), pp. 775–788. arXiv: 0808.3684. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.10.003.

[Sch01]

Stefan Schwede. “The stable homotopy category has a unique model at the prime 2”. In: Adv. Math. 164.1 (2001), pp. 24–40. url: https://doi.org/10.1006/aima.2001.2009.

[Sch07]

Stefan Schwede. “The stable homotopy category is rigid”. In: Ann. of Math. (2) 166.3 (2007), pp. 837–863. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.837.

[Tab08]

Gonçalo Tabuada. “Higher \(K\)-theory via universal invariants”. In: Duke Math. J. 145.1 (2008), pp. 121–206. arXiv: 0706.2420. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2008-049.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.