Triangulated category の概念は, 代数幾何学と安定ホモトピー論で独立に発見されたものであり, その意味では,
ホモロジー代数を行なうための自然な枠組みと言えるだろう。
しかしながら, algebra や scheme にその derived category を対応させ, derived category
を元の代数的あるいは幾何学的対象の代わりに用いることを考えると, 様々な欠点が目につくようになる。そのため, derived category
の構成で homotopy category をとる前, 例えば dg category の段階で考えようという動きが現れた。
Bondal と Kapranov は, [BK90] で homotopy category が triangulated category
になるような dg category に対する条件を考えた。 その 論文のタイトルは “framed triangulated category”
と訳されることもあるようであるが, “enhanced triangulated category” と訳される方が popular
だと思う。このページの参考文献は AMS の MR lookup から取得したデータであり, 前者になっているが。
基本的な問題としては, Canonaco と Neeman と Stellari の [CNSb] に書かれているように, 次の3つがある:
-
全ての triangulated category が enhancement を持つか?
-
enhancement は unique か?
-
triangulated functor は enhancement の間の functor に lift するか?
何も条件をつけないと, これらの問題に対する答えは全て No である。 反例が得られた文献などは, 上記の Canonaco らの
survey に挙げられている。 ただ, enhancement が unique である triangulated category
も色々発見されている。 Grothendieck Abelian category の derived category など。 Lunts と Orlov の
[LO10], Canonaco と Stellari の [CS18] など。 Antieau [Ant] は stable \(\infty \)-category
を使っている。Canonaco, Neeman, Stellari [CNSa] は, Antieau で open and challenging
problem とされている場合を証明している。
この Antieau のアプローチのように enhanced triangulated category の構成には, dg category
以外にもいくつかの方法がある。
これらは共通の目的を持つということ以外でも, お互いに補い合ったりして密接に関係している。例えば, Tabuada の [Tab08] では,
dg category を調べるために derivator が用いられている。 更に, モデル圏の理論も重要な役割を果している。
Chain complex の category の場合には, Mirmohades の [Mir] で提案されている lax nerve
の成す圏もある。
Ben-Zvi と Francis と Nadlerの [BFN10] によると, 標数 \(0\) では pretriangulated dg category と
pretriangulated \(A_{\infty }\)-category と stable \((\infty ,1)\)-category は本質的に同じになるようである。
その “folklore theorem” の証明として Cohn の [Coh] が出た。 そこでは標数0の体上で pretriangulated
dg category の \((\infty ,1)\)-category と \(k\)-linear stable \((\infty ,1)\)-category の \((\infty ,1)\)-category が \((\infty ,1)\)-category
として同値であることが示されている。
Toën と Vezzosi の [TV04] の “Final Comments” では, simplcial category と derivator
の関係について, 簡単に著者らの持つ印象が述べられている。
References
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[TV04]
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Bertrand
Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”.
In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url:
http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.
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