Dynamical Systems

力学系 (dynamical systems) とは, 何なのだろうか? Tao の この blog post では, 群の空間への作用のことを力学系と言っている。 点が群の作用により動く様子を考えると, \(\Z \) のような生成元の定まった無限群の作用は, 確かに, 力学系と呼んでもよい気がする。

\(\Z \) の位相空間 (距離空間) \(X\) への作用の場合, その生成元の作用の表す自己同型写像 \(f : X\to X\) に関することと思ってもよい。 \(\R \) の作用の場合は, 点 \(x\in X\) の orbit として flow が得られる。

ただ, 可逆ではない自己写像 \(f:X\to X\) を考えることもある。よって, 一般には monoid の空間への作用を, 力学系と呼ぶべきなのだろう。

群の作用を持つ空間のホモトピー論は, 古くから研究されているが, 同様の手法で, monoid の作用を持つ空間のホモトピー論が構築できると, 「力学系のホモトピー論」ができることになる。 これについては, Jardine [Jar13] や Erdal [Erd] による試みがある。彼等によると, 元々は Carlsson により議論が始まったことのようであるが。

力学系の複雑さを測るものとして entropy という不変量がある。

  • entropy

これは, \(\Z \) 作用の場合, 自己写像 \(f : X\to X\) の不変量として定義されるのが普通のようである。

自己写像に対する不変量なので, 位相空間以外の様々なものにも一般化されている。例えば, Dimitrov と Haiden と Katzarkov と Kontsevich [Dim+14] は, triangulated category やその \(A_{\infty }\)-enhancement の endofunctor に対する entropy を定義し調べている。

Baudot と Bennequin の [BB15] では, entropy に対し, homological approach が提案されている。

各種 zeta function も定義されている。

  • Lefschetz zeta function [Cam+]
  • Nielsen and Reidemeister zeta function [FL15]
  • Artin-Mazur zeta function [AM65]
  • dynamical zeta function [Bal]

References

[AM65]

M. Artin and B. Mazur. “On periodic points”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 82–99. url: https://doi.org/10.2307/1970384.

[Bal]

V. Baladi. Dynamical zeta functions. arXiv: 1602.05873.

[BB15]

Pierre Baudot and Daniel Bennequin. “The homological nature of entropy”. In: Entropy 17.5 (2015), pp. 3253–3318. url: https://doi.org/10.3390/e17053253.

[Cam+]

Jonathan A. Campbell, John A. Lind, Cary Malkiewich, Kate Ponto, and Inna Zakharevich. \(K\)-theory of endomorphisms, the \(\mathit {TR}\)-trace, and zeta functions. arXiv: 2005.04334.

[Dim+14]

G. Dimitrov, F. Haiden, L. Katzarkov, and M. Kontsevich. “Dynamical systems and categories”. In: The influence of Solomon Lefschetz in geometry and topology. Vol. 621. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 133–170. arXiv: 1307. 8418. url: https://doi.org/10.1090/conm/621/12421.

[Erd]

Mehmet Akif Erdal. An Elmendorf-Piacenza type Theorem for Actions of Monoids. arXiv: 1609.06785.

[FL15]

Alexander Fel’shtyn and Jong Bum Lee. “The Nielsen and Reidemeister numbers of maps on infra-solvmanifolds of type (R)”. In: Topology Appl. 181 (2015), pp. 62–103. arXiv: 1303.0784. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2014.12.003.

[Jar13]

J. F. Jardine. “Homotopy theories of diagrams”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), No. 11, 269–303.