特異点を持った多様体や特異点を持つ写像のコボルディズム

複素コボルディズムから様々な homology theory を作るときによく行なわれたのが, 特異点を持った多様体によるコボルディズムを考えることである。

• manifold with corners
• Baas-Sullivan construction [Baa73]

Baas-Sullivan construction を Quinnの bordism spectrum の構成に拡張したものとして, Baas と Laures の [BL] がある。

Intersection homology に対し Poincaré duality をみたす空間として Siegel [Sie83] により導入された Witt space の cobordism を考えると, K理論 (の odd primary part) が得られることがわかっている。更に, Banagl [Ban02] などにより, その一般化も考えられている。

• Witt space と関連した話題

特異点を持つ写像の cobordism も色々調べられている。 Szűcs の [Szű08] によると, singular map の間の cobordism を考えたのは, Koschorke [Kos81] と Szűcs [Sju79] が最初らしい。 また, Sadykov の [Sada] によると, fold map の cobordism は代数的トポロジーにも関係深いようである。Kahn-Priddy theorem や Mumford conjecture など。

球面の安定ホモトピー群との関係では, Y. Ando の [And] や Nagy らの [NST18; ST18] がある。

Sadykov [Sadb] により, cobordism category の定義も拡張されている。Perlmutter [Per] は, Baas-Sullivan construction に現われる特異点を持つ多様体の cobordism category を考えている。

References

[And]

Yoshifumi Ando. Cobordisms of maps without prescribed singularities. arXiv: math/0412234.

[Baa73]

Nils Andreas Baas. “On bordism theory of manifolds with singularities”. In: Math. Scand. 33 (1973), 279–302 (1974). url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-11491.

[Ban02]

Markus Banagl. “Extending intersection homology type invariants to non-Witt spaces”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 160.760 (2002), pp. x+83. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0760.

[BL]

Nils A. Baas and Gerd Laures. Singularities and Quinn spectra. arXiv: 1304.3593.

[Kos81]

Ulrich Koschorke. Vector fields and other vector bundle morphisms—a singularity approach. Vol. 847. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1981, pp. iv+304. isbn: 3-540-10572-7.

[NST18]

Csaba Nagy, András Szűcs, and Tamás Terpai. “Singularities and stable homotopy groups of spheres. I”. In: J. Singul. 17 (2018), pp. 1–27. arXiv: 1506.05260. url: https://doi.org/10.5427/jsing.2018.17a.

[Per]

Nathan Perlmutter. Cobordism Category of Manifolds With Baas-Sullivan Singularities, Part I. arXiv: 1212.6422.

[Sada]

Rustam Sadykov. Fold maps, framed immersions and smooth structures. arXiv: 0803.3780.

[Sadb]

Rustam Sadykov. Singular cobordism categories. arXiv: 0804.1267.

[Sie83]

P. H. Siegel. “Witt spaces: a geometric cycle theory for \(K\mathrm{O}\)-homology at odd primes”. In: Amer. J. Math. 105.5 (1983), pp. 1067–1105. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374334.

[Sju79]

Andraš Sjuč. “Analogue of the Thom space for mappings with singularity of type \(\Sigma ^1\)”. In: Mat. Sb. (N.S.) 108(150).3 (1979), pp. 433–456, 478.

[ST18]

András Szűcs and Tamás Terpai. “Singularities and stable homotopy groups of spheres. II”. In: J. Singul. 17 (2018), pp. 28–57. arXiv: 1506.05300. url: https://doi.org/10.5427/jsing.2018.17b.

[Szű08]

András Szűcs. “Cobordism of singular maps”. In: Geom. Topol. 12.4 (2008), pp. 2379–2452. arXiv: math/0612152. url: https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.2379.