コボルディズムと関連した話題

現代の安定ホモトピー論において, 複素コボルディズム \(\mathrm{MU}\) は中心的役割を果している。 もちろん複素コボルディズム以外にも, 様々な種類の多様体に対応したコボルディ ズム群があり, 一般ホモロジーの重要な 例となっている。

代数幾何学においても, algebraic cobordismという類似の概念が導入されている。

最近では, topological quantum field theoryの定義域としても重要である。

コボルディズムに関する本としては, まずStongの本 [Sto68]が ある。安定ホモトピー論のためのコボルディズム論としては, 荒木の本 [荒木捷75]とRudyakの[Rud98]がある。コボルディズム論の初 期の重要な論文 (の英訳) を集めた本[NT07]をNovikovら が編集しているが, これも眺めてみるとよいかもしれない。

これらは, 一般ホモロジー論としてのコボルディズムに関する本であるが, topological quantum field theory に登場する cobordism categoryを主眼に置 いた解説としては Freed の lecture noteがある。最後は cobordism hypothesis で終っている。

References

[NT07]

S. P. Novikov and I. A. Taimanov, eds. Topological library. Part 1: cobordisms and their applications. Vol. 39. Series on Knots and Everything. Translation by V. O. Manturov. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2007, pp. xiv+369. isbn: 978-981-270-559-4; 981-270-559-7. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812772107.

[Rud98]

Yuli B. Rudyak. On Thom spectra, orientability, and cobordism. Springer Monographs in Mathematics. With a foreword by Haynes Miller. Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+587. isbn: 3-540-62043-5.

[Sto68]

Robert E. Stong. Notes on cobordism theory. Mathematical notes. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1968, pp. v+354+lvi.

[荒木捷75]

荒木捷朗. 一般コホモロジー. Vol. 4. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.