Categories with Additional Structures

圏に構造を付加したものの中でよく使うのは, monoidal category やそれにより enrich された category だろう。

• monoidal category
• enriched category

表現論などで使われる monoidal category には, object の dual が定義されるものが多い。

• rigid monoidal category あるいは autonomous category

一方, morphism の dual, つまり morphism の向きを逆にする操作を持つものとして, dagger category という構造がある。

• dagger category

Monoidal structure を持たない category での duality については, category with duality という構造がある。Schlichting により [Sch10] で algebraic \(K\)-theory のために導入された。

• category with duality

Involution を持つものとしては, supercategory という構造もある。

• supercategory あるいは involutive category

群や位相空間などは, 集合の category への forgetful functor を持つが, より一般に “forgetful functor” を持つ category として concrete category の概念がある。

• concrete category

有限 poset の rank function の類似を持つものは, 様々な分野に登場する。

• ranked category

集合に位相という部分集合族を指定したものが位相空間であるが, small category にその上の Grothendieck topology を指定したものを site という。

• Grothendieck topology and site

それよりも弱い (条件の少ない) 構造として, Bohmann らの [Boh+24] で導入された category with covering familes がある。 Algebraic \(K\)-theory の一般化のために導入された。

• category with covering families

圏に高次の射を付加したものも, 最近では popular である。

• 高次の圏

References

[Boh+24]

Anna Marie Bohmann, Teena Gerhardt, Cary Malkiewich, Mona Merling, and Inna Zakharevich. “A trace map on higher scissors congruence groups”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 18 (2024), pp. 12683–12710. arXiv: 2303.08172. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnae153.

[Sch10]

Marco Schlichting. “Hermitian \(K\)-theory of exact categories”. In: J. K-Theory 5.1 (2010), pp. 105–165. url: http://dx.doi.org/10.1017/is009010017jkt075.