Buildings

Building は Tits により [Tit74] で導入された Lie 群や 代数群 に付随した組合せ論的構造である。Bruhat と Tits は, [BT84] で局所体上の古典群に対する building を定義している。 このため, building は Tits building や Bruhat-Tits building と呼ばれることが多いようである。

教科書や解説は様々なものがある。目にしたものを挙げると以下のようになる。

• Brown の本 [Bro98] とその Abramenko との続編 [AB08]
• Ronan の本 [Ron09].
• Buekenhout の本 [Bue95].
• Garrett の本 [Gar97].
• Weiss の spherical building に関する本 [Wei03]
• Weiss の affine building に関する本 [Wei09]
• Rémy, Thuillier, Werner の [RTW15]

概要をつかむためのものとして, 次のような解説もある。

• Hitzelberger の dissertation [Sch]
• Everitt による short introduction [Eve14]

Building を記述する方法はいくつかあるが, 基本は simplicial complex とその部分複体の族を用いたものだろうか。他にも, Abramenko と Brown の本 [AB08] にあるように chamber system として表す方法や, Weiss の本 [Wei03] のように edge-colored graph として表す方法がある。

基本的な building の class として次の3つがある。

• spherical building
• affine building
• hyperbolic building

安定ホモトピー論で使われている例として, Behrens の [Beh07] や Behrens と Lawson の [BL10] がある。

Loop group に対する building については, Kitchloo と Morava の [KM07] の Appendix に書かれている。

References

[AB08]

Peter Abramenko and Kenneth S. Brown. Buildings. Vol. 248. Graduate Texts in Mathematics. Theory and applications. New York: Springer, 2008, pp. xxii+747. isbn: 978-0-387-78834-0.

[Beh07]

Mark Behrens. “Buildings, elliptic curves, and the \(K(2)\)-local sphere”. In: Amer. J. Math. 129.6 (2007), pp. 1513–1563. arXiv: math/0510026. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.2007.0037.

[BL10]

Mark Behrens and Tyler Lawson. “Topological automorphic forms”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 204.958 (2010), pp. xxiv+141. arXiv: math/0702719. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-09-00573-0.

[Bro98]

Kenneth S. Brown. Buildings. Springer Monographs in Mathematics. Reprint of the 1989 original. New York: Springer-Verlag, 1998, pp. viii+215. isbn: 0-387-98624-3.

[BT84]

F. Bruhat and J. Tits. “Schémas en groupes et immeubles des groupes classiques sur un corps local”. In: Bull. Soc. Math. France 112.2 (1984), pp. 259–301. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1984__112__259_0.

[Bue95]

F. Buekenhout, ed. Handbook of incidence geometry. Buildings and foundations. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. xii+1420. isbn: 0-444-88355-X.

[Eve14]

Brent Everitt. “A (very short) introduction to buildings”. In: Expo. Math. 32.3 (2014), pp. 221–247. arXiv: 1207.2266. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2013.10.001.

[Gar97]

Paul Garrett. Buildings and classical groups. London: Chapman & Hall, 1997, pp. xii+373. isbn: 0-412-06331-X. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-94-011-5340-9.

[KM07]

Nitu Kitchloo and Jack Morava. “Thom prospectra for loopgroup representations”. In: Elliptic cohomology. Vol. 342. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007, pp. 214–238. arXiv: math/0404541. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721489.011.

[Ron09]

Mark Ronan. Lectures on buildings. Updated and revised. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2009, pp. xiv+228. isbn: 978-0-226-72499-7; 0-226-72499-9.

[RTW15]

Bertrand Rémy, Amaury Thuillier, and Annette Werner. “Bruhat-Tits buildings and analytic geometry”. In: Berkovich spaces and applications. Vol. 2119. Lecture Notes in Math. Springer, Cham, 2015, pp. 141–202. arXiv: 1110.1362. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-11029-5_5.

[Sch]

Petra Schwer. Generalized affine buildings. arXiv: 0902.1107.

[Tit74]

Jacques Tits. Buildings of spherical type and finite BN-pairs. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 386. Berlin: Springer-Verlag, 1974, pp. x+299.

[Wei03]

Richard M. Weiss. The structure of spherical buildings. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003, pp. xiv+135. isbn: 0-691-11733-0.

[Wei09]

Richard M. Weiss. The structure of affine buildings. Vol. 168. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xii+368. isbn: 978-0-691-13881-7.