超平面などの arrangement

Euclid空間の互いに異なる点の configuration spaceの一般化の一つとして, 超平面の arrangement の補集合が考えられる。 超平面だけでなく, 一般の部分ベクトル空間や affine空間 の arrangement も考えられている。Torus の中の subtorus の arrangement も調べられている。 他にも, 様々な一般化や変種が考えられ, 調べられている。

Hyperplane arrangement は, oriented matroid に関係するものの中でも代表的なものであり, その視点からは, 組み合せ論の一分野と考えることもできる。

また代数多様体とみなして, 代数幾何学の道具を使うこともできる。 その際は, 超平面の交わりは特異点となるため, 特異点論の立場からも調べられている。 例えば, Kapranov と Schechtman の [KS16] では, その上の perverse sheaf の成す圏が調べられている。

Complement のホモトピー型は, braid群とも深く関係してトポロジーでも重要である。

他にも arrangement に関連した分野は数多い。古くから調べられているのは, Weyl群などを生成する鏡映の「鏡」となる超平面の配置である。 De Concini と Procesi は, [CP] で box spline との関係について述べている。 Real hyperplane arrangement の chamber 上の random walk など, 確率論とも関係がある。

References

[CP]

C. De Concini and C. Procesi. The algebra of the box spline. arXiv: math/0602019.

[KS16]

Mikhail Kapranov and Vadim Schechtman. “Perverse sheaves over real hyperplane arrangements”. In: Ann. of Math. (2) 183.2 (2016), pp. 619–679. arXiv: 1403.5800. url: https://doi.org/10.4007/annals.2016.183.2.4.