|
Waldhausen [Wal78b; Wal78a; Wal79; Wal85] は, 基点つき位相空間 \(X\) に対し, “algebraic
\(K\)-theory” \(A(X)\) を定義した。 そのアイデアは, ループ空間 \(\Omega X\) の suspension spectrum \(\Sigma ^{\infty }(\Omega X)\) が“環”のような構造を
持つことによる。つまり \(\Omega X\) が up to homotopy で群であり \(\Sigma ^{\infty }(-)\) を取ることはその sphere spectrum を“係数”とする group
ring を構成するようなもの, とみなすわけである。
このアイデアを実現するために, Waldhausen が導入したのが, category with cofibrations and weak
equivalences である。 名前が長いので, 現在では Waldhausen category と呼ばれることが多いようである。 その
cofibration に関する条件から, simplicial category を構成することができ, その homotopy theoretic group
completion, つまり 分類空間の loop space として algebraic \(K\)-theory (の空間) が得られる。この構成は,
\(S_{\bullet }\)-construction と呼ばれる。
- Waldhausen category
-
\(S_{\bullet }\)-construction
- algebraic \(K\)-theory of Waldhausen category
\(S_{\bullet }\)-construction は, weak equivalence がない category with cofibrations に対する構成が本質的である。
例えば, Dundas, Goodwillie, McCarthy の本 [DGM13] では, 主に category with cofibrations
の場合が扱われている。
- category with cofibrations
この構成により infinite loop space ができるのは, \(S_{\bullet }\)-construction により (simplicial) category with
cofibration ができ, \(S_{\bullet }\)-construction を繰り返すことができるからであるが, 実はこれは symmetric spectrum
を構成していることになっている。このことの証明は, 例えば, Geisser と Hesselholt の [GH99] の Appendix
(section 6) にある。
- symmetric spectrum としての Waldhausen \(K\)-theory
Waldhausen の構成は, algebraic \(K\)-theory の性質を証明するのにも有用である。そのような例として, Thomason と
Trobaugh [TT90] による導来同値不変性がある。 そのために, 彼等は complicial biWaldhausen category
という概念を導入している。
- complicial biWaldhausen category
- complicial biWaldhausen category の homotopy category は triangulated
category
- complicial biWaldhausen category の algebraic \(K\)-theory の導来同値不変性
このことから, triangulated category の構造のみを使って “algebraic \(K\)-theory of triangulated
category” を定義できないか, と考えたくなる。
残念ながら, 一般にはこれが無理だということは, Schlichting [Sch02] の例から分かる。Schlichting は
homotopy category が triangulated category として同値であるが, Waldhausen \(K\)-theory
が同型ではない例を構成している。
Thomason と Trobaugh の仕事から, triangulated category の構造に何らかの情報を追加すればよさそう,
ということが分かるが, Toën と Vezzosi [TV04] は, homotopy category ではなく Dwyer-Kan の
simplicial localization で完全に決まることを示している。
また, この問題については Neeman が一連の論文 [Nee97b; Nee97a; Nee98a; Nee98b; Nee99;
Nee00a; Nee00b; Nee01] で調べている。非常に読み辛いが。
Simplicial category は, \((\infty ,1)\)-category のモデルの一つだから, 一般の \((\infty ,1)\)-category に対する algebraic
\(K\)-theory spectrum の構成を考えたくなるが, それについては色々な人が考えている。
別の一般化としては, Dyckerhoff が [Dyc21] で導入した categorified Dold-Kan correspondence
がある。
- categorified Dold-Kan correspondence
Waldhausen category から cobordism category のようなものを作ることを Raptis と Steimle
[RS19] が提案している。 できたものは, \(S_{\bullet }\)-construction で得られるものと, 基本的に同じホモトピー型を持つようである。
References
-
[DGM13]
-
Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy.
The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra
and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013,
pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.
-
[Dyc21]
-
Tobias
Dyckerhoff. “A categorified Dold-Kan correspondence”. In: Selecta
Math. (N.S.) 27.2 (2021), Paper No. 14, 35. arXiv: 1710.08356. url:
https://doi.org/10.1007/s00029-021-00618-5.
-
[GH99]
-
Thomas Geisser and Lars Hesselholt. “Topological cyclic homology
of schemes”. In: Algebraic \(K\)-theory (Seattle, WA, 1997). Vol. 67.
Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999,
pp. 41–87. url: https://doi.org/10.1090/pspum/067/1743237.
-
[Nee00a]
-
Amnon Neeman. “\(K\)-theory for triangulated categories \(3\frac 12\). A. A
detailed proof of the theorem of homological functors”. In: \(K\)-Theory
20.2 (2000). Special issues dedicated to Daniel Quillen on the
occasion of his sixtieth birthday, Part II, pp. 97–174. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1007899920072.
-
[Nee00b]
-
Amnon Neeman. “\(K\)-theory for triangulated categories \(3\frac 12\). B. A
detailed proof of the theorem of homological functors”. In: \(K\)-Theory
20.3 (2000). Special issues dedicated to Daniel Quillen on the
occasion of his sixtieth birthday, Part III, pp. 243–298. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1007860320980.
-
[Nee01]
-
Amnon Neeman. “\(K\)-theory for triangulated categories \(3\frac 34\): a direct proof
of the theorem of the heart”. In: \(K\)-Theory 22.1-2 (2001), pp. 1–144.
url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011172502978.
-
[Nee97a]
-
Amnon Neeman. “\(K\)-theory for triangulated categories. I(A).
Homological functors”. In: Asian J. Math. 1.2 (1997), pp. 330–417.
url: http://dx.doi.org/10.4310/AJM.1997.v1.n2.a9.
-
[Nee97b]
-
Amnon Neeman. “\(K\)-theory for triangulated categories. I(B).
Homological functors”. In: Asian J. Math. 1.3 (1997), pp. 435–529.
url: http://dx.doi.org/10.4310/AJM.1997.v1.n3.a3.
-
[Nee98a]
-
Amnon Neeman.
“\(K\)-theory for triangulated categories. II. The subtlety of the theory
and potential pitfalls”. In: Asian J. Math. 2.1 (1998), pp. 1–125.
url: http://dx.doi.org/10.4310/AJM.1998.v2.n1.a1.
-
[Nee98b]
-
Amnon Neeman. “\(K\)-theory for triangulated categories. III(A). The
theorem of the heart”. In: Asian J. Math. 2.3 (1998), pp. 495–589.
url: http://dx.doi.org/10.4310/AJM.1998.v2.n3.a4.
-
[Nee99]
-
Amnon Neeman. “\(K\)-theory for triangulated categories. III(B). The
theorem of the heart”. In: Asian J. Math. 3.3 (1999), pp. 557–608.
url: http://dx.doi.org/10.4310/AJM.1999.v3.n3.a2.
-
[RS19]
-
George Raptis and Wolfgang
Steimle. “A cobordism model for Waldhausen \(K\)-theory”. In: J. Lond.
Math. Soc. (2) 99.2 (2019), pp. 516–534. arXiv: 1711.08779. url:
https://doi.org/10.1112/jlms.12182.
-
[Sch02]
-
Marco Schlichting. “A note on \(K\)-theory and triangulated categories”.
In: Invent. Math. 150.1 (2002), pp. 111–116. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00222-002-0231-1.
-
[TT90]
-
R. W. Thomason and Thomas Trobaugh. “Higher algebraic \(K\)-theory
of schemes and of derived
categories”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. III. Vol. 88.
Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 247–435.
url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4576-2_10.
-
[TV04]
-
Bertrand
Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”.
In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url:
http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.
-
[Wal78a]
-
Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of generalized free
products. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 108.1 (1978), pp. 135–204.
-
[Wal78b]
-
Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of topological spaces. I”.
In: Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math.,
Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1. Proc. Sympos. Pure
Math., XXXII. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1978, pp. 35–60.
-
[Wal79]
-
Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of topological spaces. II”.
In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus,
Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer,
1979, pp. 356–394.
-
[Wal85]
-
Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic
and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126.
Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.
|
