Real-oriented Cohomology Theories

複素ベクトル束は, 複素共役による \(\Z _2\) の作用を持つ。底空間も \(\Z _2\) 作用を持つとき, その間の compatibility を考えるのは自然である。 そのアイデアは, Atiyah [Ati66] により Real \(K\)-theory として実現された。

• Atiyah の Real \(K\)-theoy (\(KR\)-theory)

\(KR\)-theory については, Karoubi が[Kar; Kar02] などで考察している。

Lie群や homogeneous space の \(KR\)-theory の計算は, Seymour [Sey73] が既に70年代前半に行なっている。 最近では, Fok [Fok] が compact Lie 群 \(G\) の \(G\)-equivariant \(KR\)-theory を調べている。

• equivariant \(KR\)-theory

\(KR\)-theory の twisted 版もある。Hekmati, Murray, Szabo, Vozzo [Hek+] が bundle gerbe の Real版を用いて構成できることを示している。

より一般の Real-oriented cohomology theory については, Landweber [Lan68] や Araki と Murayama [AM78] が考えている。

• Real-oriented spectrum

例としては, Real-oriented complex cobordism やそこから派生する spectrum がある。Hu と Kriz の [HK01], Kitchloo と Wilson の [KW07; KW08a; KW08b], Banerjee の [Banb] など。

• Real-complex cobordism \(\mathrm{MU}\R \) ([Lan68])
• Real-Brown-Peterson spectrum \(\mathrm{BP}\R \)
• Real truncated Brown-Peterson spectrum \(\mathrm{BP}\R \langle n\rangle \)
• Real-Jonshon-Wilson spectrum \(E\R (n)\)
• Real Morava \(K\)-theory ([HK01])
• Real Lubin-Tate theory (Shi らの [HS; HLS])

他にも topological modular form について考えている人 [HM] もいる。

これらを用いた Adams-Novikov spectral sequence の類似もある。Huと Kriz の [HK01] にある。

Banerjee [Bana] は \(E\R (2)\) の \(\Z _2\)-action に関する homotopy fixed point spectrum \(E\R (2)\) の別の構成を得ている。

Kitchloo とWilson [KW] は \(E\R (n)^*(BO(q))\) を計算している。

Kitchloo と Lorman と Wilson の [KLWa] では, \(E(n)\)-cohomology から \(E\R (n)\)-cohomology が形式的な議論で得られるのはどのような場合か, が考えられている。 彼等は, [KLWb] では, \(E\R (n)\) の積構造を調べている。

Greenlees と Meier [GM] は, \(\mathrm{BP}\R \langle n\rangle \) や \(E\R (n)\) の Anderson dual を調べている。

Dotto の thesis [Dot] によると, Real \(K\)-theory の algebraic \(K\)-theory 版も Hesselholt と Madsen により考えられているようである。 その原稿が このページから download できる。 Høgenhaven [Høg] によると, topological Hochschild homology の Real版も導入されているらしい。 Høgenhaven は, topological cyclic homology の Real版を考えている。

• Real algebraic \(K\)-theory
• Real topological Hochschild homology
• Real topological cyclic homology

References

[AM78]

Shôrô Araki and Mitutaka Murayama. “\(\tau \)-cohomology theories”. In: Japan. J. Math. (N.S.) 4.2 (1978), pp. 363–416.

[Ati66]

M. F. Atiyah. “\(K\)-theory and reality”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 17 (1966), pp. 367–386. url: https://doi.org/10.1093/qmath/17.1.367.

[Bana]

Romie Banerjee. A modular description of \(ER(2)\). arXiv: 1212.2069.

[Banb]

Romie Banerjee. On the \(ER(2)\) cohomology of some odd dimensional projective spaces. arXiv: 1204.4091.

[Dot]

Emanuele Dotto. Stable real \(K\)-theory and real topological Hochschild homology. arXiv: 1212.4310.

[Fok]

Chi-Kwong Fok. The Real \(K\)-Theory of Compact Lie Groups. arXiv: 1308.3871.

[GM]

J. P. C. Greenlees and Lennart Meier. Gorenstein duality for Real spectra. arXiv: 1607.02332.

[Hek+]

Pedram Hekmati, Michael K. Murray, Richard J. Szabo, and Raymond F. Vozzo. Real bundle gerbes, orientifolds and twisted KR-homology. arXiv: 1608.06466.

[HK01]

Po Hu and Igor Kriz. “Real-oriented homotopy theory and an analogue of the Adams-Novikov spectral sequence”. In: Topology 40.2 (2001), pp. 317–399. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00065-8.

[HLS]

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[HM]

Michael A. Hill and Lennart Meier. The \(C_2\)-spectrum \(\mathrm{Tmf}_1(3)\) and its invertible modules. arXiv: 1507.08115.

[Høg]

Amalie Høgenhaven. Real topological cyclic homology of spherical group rings. arXiv: 1611.01204.

[HS]

Jeremy Hahn and XiaoLin Danny Shi. Real Orientations of Lubin-Tate Spectra. arXiv: 1707.03413.

[Kar]

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[Kar02]

Max Karoubi. “Equivariant \(K\)-theory of real vector spaces and real projective spaces”. In: Topology Appl. 122.3 (2002), pp. 531–546. arXiv: math/0509497. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00190-0.

[KLWa]

Nitu Kitchloo, Vitaly Lorman, and W. Stephen Wilson. Landweber flat real pairs and \(ER(n)\)-cohomology. arXiv: 1603.06865.

[KLWb]

Nitu Kitchloo, Vitaly Lorman, and W. Stephen Wilson. Multiplicative structure on Real Johnson-Wilson theory. arXiv: 1701.00255.

[KW]

Nitu Kitchloo and W. Stephen Wilson. The \(ER(n)\)-cohomology of \(BO(q)\), and real Johnson-Wilson orientations for vector bundles. arXiv: 1409.1281.

[KW07]

Nitu Kitchloo and W. Stephen Wilson. “On the Hopf ring for \(ER(n)\)”. In: Topology Appl. 154.8 (2007), pp. 1608–1640. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.01.001.

[KW08a]

Nitu Kitchloo and W. Stephen Wilson. “The second real Johnson-Wilson theory and nonimmersions of \(\RP ^{n}\)”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 223–268. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832474.

[KW08b]

Nitu Kitchloo and W. Stephen Wilson. “The second real Johnson-Wilson theory and nonimmersions of \(\RP ^{n}\). II”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 269–290. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832475.

[Lan68]

Peter S. Landweber. “Conjugations on complex manifolds and equivariant homotopy of \(MU\)”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), pp. 271–274.

[Sey73]

R. M. Seymour. “The real \(K\)-theory of Lie groups and homogeneous spaces”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 24 (1973), pp. 7–30.