Hopf-Galois Extensions

Montgomery の survey [Mon09] によると, Hopf algebra の文脈への Galois理論の拡張は, Chase と Harrison と Rosenberg [CHR65] による, 可換環の Galois理論へのアプローチが起源のようである。 実際に Hopf algebra 上の comodule algebra へ拡張したのは Chase と Sweedler [CS69] で, 現在の定義は Kreimer と Takeuchi [KT81] に依るようである。 体のGalois理論との関係については, Vercruysse の [Ver08] では, Dăscălescu と Năstăsescu と Raianu の [DNR01] という本の Example 6.4.3 の 1) が参照されている。Montgomery の [Mon09] にも Example 2.3 として書いてある。

  • Hopf algebra の Hopf-Galois theory

Hopf algebra に関する概念は, 最近, 一般の (symmetric) monoidal categorybicategory の言葉で述べられるようになってきた。 Hopf-Galois theory も, そのような視点から一般化されている。

一つの方向としては, 例えば Vercruysse の [Ver08] の Introduction に書いてあるような, coring を用いた一般化がある。そこでは, Caenepeel の [Cae04] と Wisbauer の [Wis05] が挙げられている。

もう一つの方向としては, structured ring spectrum への拡張がある。 Rognes の [Rognes2008 ; Rog]である。

また, associative \(S\)-algebra については Roth が thesis で考えている。

Operad の視点からは, commutative \(S\)-algebra は \(E_{\infty }\)-ring であり associative \(S\)-algebra は \(E_1\)-ring である。 その途中の \(E_{n}\)-ring については, Beardsley [Bea] が考えている。

  • \(E_n\)-ring spectrum の Hopf-Galois extension

K. Hess は [Hes09]で, Rognes の Galois 理論の拡張として, monoidal model category で Hopf-Galois extension と類似の理論を構築しようとしている。Hess は homotopic Hopf-Galois extension と呼んでいる。

Banergee [Ban] は Rognes の Galois理論を module の圏の言葉に直し, symmetric monoidal presentable stable \((\infty ,1)\)-category に対し Hopf-Galois extension の概念を導入している。

もう一つのホモトピー論的な視点としては, Kassel と Schneider の [KS05] がある。そこでは, Kassel が [Kas04] で導入した Hopf-Galois extension の間のホモトピー同値の概念を調べている。

  • Hopf-Galois extension のホモトピー同値

これは, Hopf-Galois extension を “noncommutative principal bundle” とみなし, 非可換ホモトピー論を行なおうという立場である。

“Galois群” が quantum group になる Galois理論を構築しようという試みもある。Masuoka, Saito, Umemura の [MSU20] である。

References

[Ban]

Romie Banerjee. Tannakization of quasi-categories and monadic descent. arXiv: 1608.01148.

[Bea]

Jonathan Beardsley. Intermediate Thom Spectra, Hopf-Galois Extensions and a New Construction of \(\mathrm {MU}\). arXiv: 1601.04123.

[Cae04]

S. Caenepeel. “Galois corings from the descent theory point of view”. In: Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories. Vol. 43. Fields Inst. Commun. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 163–186. arXiv: math/0311377. url: https://doi.org/10.1090/fic/043.

[CHR65]

S. U. Chase, D. K. Harrison, and Alex Rosenberg. “Galois theory and Galois cohomology of commutative rings”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 52 (1965), pp. 15–33.

[CS69]

Stephen U. Chase and Moss E. Sweedler. Hopf algebras and Galois theory. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 97. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1969, pp. ii+133.

[DNR01]

Sorin Dăscălescu, Constantin Năstăsescu, and Şerban Raianu. Hopf algebras. Vol. 235. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. An introduction. New York: Marcel Dekker Inc., 2001, pp. x+401. isbn: 0-8247-0481-9.

[Hes09]

Kathryn Hess. “Homotopic Hopf-Galois extensions: foundations and examples”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 79–132. arXiv: 0902.3393. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.79.

[Kas04]

Christian Kassel. “Quantum principal bundles up to homotopy equivalence”. In: The legacy of Niels Henrik Abel. Berlin: Springer, 2004, pp. 737–748.

[KS05]

Christian Kassel and Hans-Jürgen Schneider. “Homotopy theory of Hopf Galois extensions”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55.7 (2005), pp. 2521–2550. arXiv: math/0402034. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2005__55_7_2521_0.

[KT81]

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[Mon09]

Susan Montgomery. “Hopf Galois theory: a survey”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 367–400. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.367.

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[Rog]

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[Rog08]

John Rognes. “Galois extensions of structured ring spectra. Stably dualizable groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 192.898 (2008), pp. viii+137. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0898.

[Ver08]

Joost Vercruysse. “Equivalences between categories of modules and categories of comodules”. In: Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 24.10 (2008), pp. 1655–1674. arXiv: math / 0604423. url: https://doi.org/10.1007/s10114-007-6455-7.

[Wis05]

Robert Wisbauer. “From Galois field extensions to Galois comodules”. In: Advances in ring theory. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005, pp. 263–281.