Hecke algebraやその一般化

Complex reflection group の braid群からは, その group ring の quotient として Hecke algebra が定義される。

Elias と Williamson の [EW16] の Introduction に簡単な歴史が書いてあるが, それによると, 有限体 \(\F _{q}\) 上の split finite reductive group \(G\) と Borel subgroup \(B\) に対し \[ \mathrm {Map}_{B\times B}(G,\bbC ) \] に convolution で積を定義した algebra が起源のようである。 そして Iwahori [Iwa64] が Weyl group \(W\) と Bruhat decomposition \[ G = \coprod _{w\in W} Bw B \] を用いた \(q\) に依らない表示を発見し, 現在の定義になった。 そのため Iwahori-Hecke algebra と呼ばれることも多い。

Weyl group による記述が発見されたことにより, Coxeter group に一般化される。また, Broué, Malle, Rouquier [BMR98] は complex reflection group の Coxeter group 流の生成元と関係式による表示を発見し, それによる braid group, そして Hecke algebra の一般化を定義している。

他にも, 様々な一般化や変種が考えられている。 目にしたものを挙げると以下のようになる。

• affine Hecke algebra
• cyclotomic Hecke algebra
• double affine Hecke algebra あるいは Cherednik algebra [Che92]
• rational Cherednik algebra [EG02]
• blob algebra [MS94]
• modular Hecke algebra [CM04a; CM04b]
• quasimodular Hecke algebra [Ban18]
• Khovanov-Lauda-Rouquier algebra あるいは quiver Hecke algebra [KL09; KL11; Rou]
• \(0\)-Hecke algebra [Nor79]
• nilHecke algebra [KK86]
• Yokonuma-Hecke algebra [Yok67]
• continuous Hecke algebra [EGG05]
• braided double [BB09]
• Drinfel\('\)d orbifold algebra [SW12]
• Hecke category

Hecke category は, Hecke algebra の categorification であり, Kazhdan と Lusztig [KL79] により構成されたのが最初だろうか。 Ellias と Williamson [EW16] によると, Iwahori により Hecke algebra が Weyl group で表されることが発見されたように, Hecke category の intrinsic な記述が Soergel [Soe07] により発見さている。

• Soergel bimodule

Hecke algebra 自体を Hopf algebra にするのは難しいが, Hecke algebra を含む Hopf algebra を Berenstein と Kazhdan [BK19] が構成している。

• Hecke-Hopf algebra

References

[Ban18]

Abhishek Banerjee. “Quasimodular Hecke algebras and Hopf actions”. In: J. Noncommut. Geom. 12.3 (2018), pp. 1041–1080. arXiv: 1411.3080. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/297.

[BB09]

Yuri Bazlov and Arkady Berenstein. “Braided doubles and rational Cherednik algebras”. In: Adv. Math. 220.5 (2009), pp. 1466–1530. arXiv: 0706.0243. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.11.004.

[BK19]

Arkady Berenstein and David Kazhdan. “Hecke-Hopf algebras”. In: Adv. Math. 353 (2019), pp. 312–395. arXiv: 1701.02076. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.06.018.

[BMR98]

Michel Broué, Gunter Malle, and Raphaël Rouquier. “Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 500 (1998), pp. 127–190.

[Che92]

Ivan Cherednik. “Double affine Hecke algebras, Knizhnik-Zamolodchikov equations, and Macdonald’s operators”. In: Internat. Math. Res. Notices 9 (1992), pp. 171–180. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792892000199.

[CM04a]

Alain Connes and Henri Moscovici. “Modular Hecke algebras and their Hopf symmetry”. In: Mosc. Math. J. 4.1 (2004), pp. 67–109, 310. arXiv: math/0301089. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2004-4-1-67-109.

[CM04b]

Alain Connes and Henri Moscovici. “Rankin-Cohen brackets and the Hopf algebra of transverse geometry”. In: Mosc. Math. J. 4.1 (2004), pp. 111–130, 311. arXiv: math / 0304316. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2004-4-1-111-130.

[EG02]

Pavel Etingof and Victor Ginzburg. “Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed Harish-Chandra homomorphism”. In: Invent. Math. 147.2 (2002), pp. 243–348. arXiv: math / 0011114. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220100171.

[EGG05]

Pavel Etingof, Wee Liang Gan, and Victor Ginzburg. “Continuous Hecke algebras”. In: Transform. Groups 10.3-4 (2005), pp. 423–447. arXiv: math / 0501192. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00031-005-0404-2.

[EW16]

Ben Elias and Geordie Williamson. “Soergel calculus”. In: Represent. Theory 20 (2016), pp. 295–374. arXiv: 1309.0865. url: https://doi.org/10.1090/ert/481.

[Iwa64]

Nagayoshi Iwahori. “On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group over a finite field”. In: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 10 (1964), 215–236 (1964).

[KK86]

Bertram Kostant and Shrawan Kumar. “The nil Hecke ring and cohomology of \(G/P\) for a Kac-Moody group \(G\)”. In: Adv. in Math. 62.3 (1986), pp. 187–237. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(86)90101-5.

[KL09]

Mikhail Khovanov and Aaron D. Lauda. “A diagrammatic approach to categorification of quantum groups. I”. In: Represent. Theory 13 (2009), pp. 309–347. arXiv: 0803 . 4121. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1088-4165-09-00346-X.

[KL11]

Mikhail Khovanov and Aaron D. Lauda. “A diagrammatic approach to categorification of quantum groups II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 363.5 (2011), pp. 2685–2700. arXiv: 0804.2080. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2010-05210-9.

[KL79]

David Kazhdan and George Lusztig. “Representations of Coxeter groups and Hecke algebras”. In: Invent. Math. 53.2 (1979), pp. 165–184. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01390031.

[MS94]

Paul Martin and Hubert Saleur. “The blob algebra and the periodic Temperley-Lieb algebra”. In: Lett. Math. Phys. 30.3 (1994), pp. 189–206. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00805852.

[Nor79]

P. N. Norton. “\(0\)-Hecke algebras”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. A 27.3 (1979), pp. 337–357.

[Rou]

Raphael Rouquier. 2-Kac-Moody algebras. arXiv: 0812.5023.

[Soe07]

Wolfgang Soergel. “Kazhdan-Lusztig-Polynome und unzerlegbare Bimoduln über Polynomringen”. In: J. Inst. Math. Jussieu 6.3 (2007), pp. 501–525. arXiv: math/0403496. url: http://dx.doi.org/10.1017/S1474748007000023.

[SW12]

Anne V. Shepler and Sarah Witherspoon. “Drinfeld orbifold algebras”. In: Pacific J. Math. 259.1 (2012), pp. 161–193. arXiv: 1111.7198. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2012.259.161.

[Yok67]

Takeo Yokonuma. “Sur la structure des anneaux de Hecke d’un groupe de Chevalley fini”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 264 (1967), A344–A347.