Hyperfield

Hyperring で \(0\) 以外の元が逆元を持つものを hyperfield という。 Krasner により [Kra57] で hyperring と共に導入された。 同様のものは, Marshall [Mar06] により multifield の名前で導入されている。

Hyperfield の例は, 例えば Maxwell と Smith の [MS] の Example 2.2 に基本的なものが8つ挙げられているので, まずはこれらを見てみるのがよいかもしれない。

• 体は hyperfield
• Krasner hyperfield
• signed hyperfield
• tropical hyperfield
• phase hyperfield
• tropical phase hyperfield
• singed tropical hyperfield
• tropical complex hyperfield

この中で “tropical” が付いたものがいくつかあるが, tropical algebraic geometry との関係を発見したのは Viro [Vir; Vir11] のようである。

Anderson と Davis [AD19] は, hyperfield の topological 版を導入している。

• topological hyperfield

Giansiracusa, Jun, Lorscheid [GJL17] は, hyperfield の category は fuzzy ring の category に埋め込めることを示している。

References

[AD19]

Laura Anderson and James F. Davis. “Hyperfield Grassmannians”. In: Adv. Math. 341 (2019), pp. 336–366. arXiv: 1710.00016. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.021.

[GJL17]

Jeffrey Giansiracusa, Jaiung Jun, and Oliver Lorscheid. “On the relation between hyperrings and fuzzy rings”. In: Beitr. Algebra Geom. 58.4 (2017), pp. 735–764. arXiv: 1607.01973. url: https://doi.org/10.1007/s13366-017-0347-5.

[Kra57]

Marc Krasner. “Approximation des corps valués complets de caractéristique \(p\not =0\) par ceux de caractéristique \(0\)”. In: Colloque d’algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956. Centre Belge de Recherches Mathématiques. Établissements Ceuterick, Louvain, 1957, pp. 129–206.

[Mar06]

M. Marshall. “Real reduced multirings and multifields”. In: J. Pure Appl. Algebra 205.2 (2006), pp. 452–468. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.07.011.

[MS]

James Maxwell and Ben Smith. Geometry of tropical extensions of hyperfields. arXiv: 2309.17302.

[Vir]

Oleg Viro. Hyperfields for Tropical Geometry I. Hyperfields and dequantization. arXiv: 1006.3034.

[Vir11]

O. Ya. Viro. “On basic concepts of tropical geometry”. In: Tr. Mat. Inst. Steklova 273.Sovremennye Problemy Matematiki (2011), pp. 271–303. url: https://doi.org/10.1134/S0081543811040134.