Segal’s Γ-Spaces and Related Structures

Segal [Seg74] は, ある small category \(\Gamma \) から空間の圏への反変関手で, ある条件をみたすものとして \(\Gamma \)-space の概念を導入した。 無限ループ空間あるいは connective spectrum を構成することが目的だった。

• \(\Gamma \)

Segal は位相空間の圏に値を持つものとして定義したが, その後 Bousfield と Friedlander [BF78] は基点付き simplicial set の圏に値を持つものを調べた。

まとまって書かれたものとして, Dundas, Goodwillie, McCarthy の本 [DGM13] の Chapter II がある。 基本的には, Bousfield と Friedlander に書かれている内容であるが。

\(\Gamma \) は, 非負整数と1対1に対応する対象を持つ圏であるが, \(n\in \Z _{\ge 0}\) に対応する対象を \(\langle n\rangle \) と書くと, Segal が \(\Gamma \)-space \(A\) に課した条件は, \(A(\langle 0\rangle )\) が可縮で, 自然な写像 \[ A(\langle n\rangle ) \rarrow {} \underbrace {A(\langle 1\rangle )\times \cdots \times A(\langle 1\rangle )}_{n} \] がホモトピー同値になることである。この後者の条件は, よく Segal condition と呼ばれる。

• Segal condition

Segal がこの条件を付した理由は, この条件があると, 新たな \(\Gamma \)-space \(BA\) が構成できるからである。ということは, この操作を繰り返し \(\Gamma \)-space の列 \(A, BA, B^{2}A,\ldots \) ができる。そして空間の列 \[ A(\langle 1\rangle ), BA(\langle 1\rangle ), B^{2}A(\langle 1\rangle ), \ldots \] が \(\Omega \)-spectrum を成すことを示した。

しかしながら, 単に spectrum を作るだけなら, Segal condition は不要である。そのことに最初に気がついたのは誰なのか, よく分からない。Bousfield と Friedlander の [BF78] は, Segal condition をみたすとは限らない Segal space のホモトピー圏と connective spectrum のホモトピー圏が同値になることを示すことを目的にしているので, これが基本的な文献であるが, そこには, Anderson の [And71] で導入された chain functor の視点に基いていると書かれている。 たぶん Segal もこのことは知っていたような気がする。

何も条件を付けない関手 \(\Gamma \) から空間の圏への関手を \(\Gamma \)-space と呼び, Segal condition をみたすものを special \(\Gamma \)-space, 更に \(\pi _{0}(A(\langle 1\rangle ))\) がAbel群になるものを very special \(\Gamma \)-space と呼ぶ。

• special \(\Gamma \)-space
• very special \(\Gamma \)-space

前述のように, 今なら \(\Gamma \)-space については, Dundas, Goodwillie, McCarthy の本 [DGM13] を読むべきだと思うが, そこでも Bousfield-Friedlander の用語に従っている。

一方で, Segal condition 自体, 様々な場面で重要な役割を果すようになった。 最も有名なのは Segal space だろう。

• Segal space

Segal は更に \(\Gamma ^{\op }\) から small category の圏への関手で Segal condition をみたすものを \(\Gamma \)-category として定義している。

• \(\Gamma \)-category

集合の圏に値を持つもの, すなわち \(\Gamma \)-set は, Connes と Consani の [CC16; CC20; CC21] などで使われている。

• \(\Gamma \)-set

\(\Gamma \)-space の圏の モノイダル構造を考えたものとして Lydakis の [Lyd99] がある。これは, symmetric monoidal category の構造を持つ connective spectrum のモデルとして有用である。

• Lydakis smash product

Lydakis の構成は, \(\F _1\) 上の代数幾何にも使えるようである。Connes と Consani [CC16] は, \(\Gamma \)-space の圏の monoid object を を用いて \(\Spec (\Z )\) のコンパクト化を定義している。

References

[And71]

D. W. Anderson. “Chain functors and homology theories”. In: Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle, Wash., 1971). Springer, Berlin, 1971, 1–12. Lecture Notes in Math., Vol. 249.

[BF78]

A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.

[CC16]

Alain Connes and Caterina Consani. “Absolute algebra and Segal’s \(\Gamma \)-rings: au dessous de \(\overline {\mathrm {Spec}(\Z )}\)”. In: J. Number Theory 162 (2016), pp. 518–551. arXiv: 1502.05585. url: https://doi.org/10.1016/j.jnt.2015.12.002.

[CC20]

Alain Connes and Caterina Consani. “\(\overline {\mathrm {Spec}\,\Bbb Z}\) and the Gromov norm”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 6, 155–178. arXiv: 1905.03310.

[CC21]

Alain Connes and Caterina Consani. “On absolute algebraic geometry the affine case”. In: Adv. Math. 390 (2021), Paper No. 107909, 44. arXiv: 1909.09796. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107909.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[Lyd99]

Manos Lydakis. “Smash products and \(\Gamma \)-spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126.2 (1999), pp. 311–328. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003260.

[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.