A∞-algebra と関連した概念

\(A_{\infty }\)-algebra については, どれをみるのがよいのだろうか。 とりあえず Keller の解説 [Kel01; Kel06] がある。Graded vector space \(A\) 上の \(A_{\infty }\)-structure の定義は, \(A_{\infty }\)-space の定義を知っていれば, operation の列 \[ m_n : A^{\otimes n} \longrightarrow A[2-n] \] で, ある条件をみたすものと考えるのがよいかもしれない。 ここで \([2-n]\) は \(2-n\) の次数のシフトを意味する。 簡潔に述べるためには, Tradler の [Tra08a] にあるように, \(A[1]\) 上の tensor coalgebra 上の coderivation と考えるのがよいだろう。これは, 元々 Getzler と Jones [GJ90] によるものなのだろうか。Getzler と Jones の定義は Stasheff のものより少し弱く, 現在では curved \(A_{\infty }\)-algebra と呼ばれるものである。

  • \(A_{\infty }\)-algebra の bar construction
  • bar construction の上の coderivation を用いた \(A_{\infty }\)-algebra の定義
  • curved \(A_{\infty }\)-algebra

\(A_{\infty }\)-algebra は, dg algebra (differential graded algebra) の拡張と見なすことができる。\(A_{\infty }\)-algebra と dg algebra の関係については, Kadeishvili の結果 [Kad82]がある。 ロシア語であるが。

  • 体上の任意の dg algebra \(A\) に対し, \(H_*(A)\) は \(A_{\infty }\)-algebra の構造を持つ。更に, \(A_{\infty }\)-algebra として \(A\) と \(H_*(A)\) は quasi-isomorphic になる。

この Kadeishvili の結果の拡張を考えているのが Sagave の [Sag10] である。そのために derived \(A_{\infty }\)-algebra というものが定義されている。

2つの \(A_{\infty }\)-algebra の tensor product に\(A_{\infty }\) 構造を定義するのは結構面倒である。Saneblidze と Umble の [SU; SU04] と Loday のもの [Lod11] がある。本質は associahedron の組み合せ論的構造であるが。

Unit についても面倒であり, いくつかの unit の定義がある。 単純なアイデアで定義したものとしては, strict unit と homological unit がある。

  • strict unit
  • homological unit

Lefévre-Hasegawa は, その関係を thesis [Lef] の Chapter 3 で調べている。

“Homotopy coherent” な unit の定義としては, Fukaya, Oh, Ohta, Ono [Fuk+09a; Fuk+09b] によるものがある。

  • homotopical unit

Muro と Tonks [MT] によると, 同じ構造は Hirsh と Milles [HM] によっても独立に導入されたようである。

また, Lyubashenko [Lyu03] や Kontsevich と Soibelman [KS09] によるものもある。 これらと homotopical unit は, Lyubashenko と Manzyuk [LM] の結果により同値となる。 それに対し operad の視点からの記述を与えているのが, Lyubashenkoの [Lyu11] である。

\(A_{\infty }\) 構造は, algebra をその \(\Ext \) から reconstruct するのにも使える。 Graded algebra の場合が, Lu と Palmieri と Wu と Zhang の [Lu+09] にある。Graded でない場合に \(1\)次元の module を使って考えているのが, Ed Segal の [Seg08] である。

\(A_{\infty }\)-algebra の一般化や変種も色々考えられている。次にまとめた。

Algebra があれば, 当然その上の module を考えたいところである。Lipshitz と Ozsvath と Thurstion [LOT] は dg algebra 上の \(A_{\infty }\)-module を使っている。もちろん, \(A_{\infty }\)-algebra 上の \(A_{\infty }\)-module もある。\(A_{\infty }\)-bimodule も [Tra08b; Cal+11] などで使われている。

  • \(A_{\infty }\)-module
  • \(A_{\infty }\)-bimodule

Ma’u [Mau] は, 更に \(A_{\infty }\) \(n\)-module という構造を考えている。

References

[Cal+11]

Damien Calaque, Giovanni Felder, Andrea Ferrario, and Carlo A. Rossi. “Bimodules and branes in deformation quantization”. In: Compos. Math. 147.1 (2011), pp. 105–160. arXiv: 0908.2299. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X10004847.

[Fuk+09a]

Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian intersection Floer theory: anomaly and obstruction. Part I. Vol. 46. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2009, pp. xii+396. isbn: 978-0-8218-4836-4.

[Fuk+09b]

Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian intersection Floer theory: anomaly and obstruction. Part II. Vol. 46. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2009, i–xii and 397–805. isbn: 978-0-8218-4837-1.

[GJ90]

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[Kel01]

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[Lod11]

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D.-M. Lu, J. H. Palmieri, Q.-S. Wu, and J. J. Zhang. “\(A\)-infinity structure on Ext-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.11 (2009), pp. 2017–2037. arXiv: math/0606144. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.02.006.

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[Mau]

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[MT]

Fernando Muro and Andrew Tonks. Unital associahedra. arXiv: 1110.1959.

[Sag10]

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[Seg08]

Ed Segal. “The \(A_{\infty }\) deformation theory of a point and the derived categories of local Calabi-Yaus”. In: J. Algebra 320.8 (2008), pp. 3232–3268. arXiv: math/0702539. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.06.019.

[SU]

Samson Saneblidze and Ronald Umble. A Diagonal on the Associahedra. arXiv: math/0011065.

[SU04]

Samson Saneblidze and Ronald Umble. “Diagonals on the permutahedra, multiplihedra and associahedra”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 363–411. arXiv: math/0209109. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839559.

[Tra08a]

Thomas Tradler. “Infinity-inner-products on \(A\)-infinity-algebras”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 3.1 (2008), pp. 245–271. arXiv: math/0108027.

[Tra08b]

Thomas Tradler. “Infinity-inner-products on \(A\)-infinity-algebras”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 3.1 (2008), pp. 245–271. arXiv: 0806.0065.