3次元多様体の不変量

基本的な代数的トポロジーの知識で定義できる3次元多様体の不変量として, まず 基本群がある。

• 基本群と幾何学的構造

V. Jones と Witten の登場以来, 低次元トポロジーは大きく様変りした。Witten による \(3\)次元多様体の不変量とその元になる topological quantum field theory については, Kevin Walker による未出版の解説 “On Witten’s \(3\)-manifold invariants” ( Walker の website から download できる) がある。

• \(3\)次元の TQFT
• Chern-Simons invariant
• Turaev-Viro invariant
• Reshetikhin-Turaev invariant
• Dijkgraaf-Witten invariant
• LMO invariant
• Casson invariant

Chaptea と Habiro と Massuyeau は, [CHM] で LMO invariant を, Lagrangian cobordism category から非負整数を object とし, ある種の Jacobi diagram を morphism とする category への functor として拡張している。

Hyperbolic \(3\)-manifold に対しては, その体積も位相不変量になる。Culler と Shalen [CS; ACS10] は ホモロジー群などの古典的な位相不変量との関係を調べていて, 興味深い。

Floer のアイデアに基づいた homology や類似の homology も色々定義されている。

• Heegaard Floer homology ([OS04])
• instanton Floer homology や monopole Floer homology (Kronheimer と Mrowka の [KM07; KM10])
• lattice cohomology ([Ném05])

References

[ACS10]

Ian Agol, Marc Culler, and Peter B. Shalen. “Singular surfaces, mod 2 homology, and hyperbolic volume. I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.7 (2010), pp. 3463–3498. arXiv: math/0506396. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-10-04362-X.

[CHM]

Dorin Cheptea, Kazuo Habiro, and Gwenael Massuyeau. A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms. arXiv: math/0701277.

[CS]

Marc Culler and Peter B. Shalen. Singular surfaces, mod 2 homology, and hyperbolic volume, II. arXiv: math/0701666.

[KM07]

Peter Kronheimer and Tomasz Mrowka. Monopoles and three-manifolds. Vol. 10. New Mathematical Monographs. Cambridge: Cambridge University Press, 2007, pp. xii+796. isbn: 978-0-521-88022-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511543111.

[KM10]

Peter Kronheimer and Tomasz Mrowka. “Knots, sutures, and excision”. In: J. Differential Geom. 84.2 (2010), pp. 301–364. arXiv: 0807.4891. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1274707316.

[Ném05]

András Némethi. “On the Ozsváth-Szabó invariant of negative definite plumbed 3-manifolds”. In: Geom. Topol. 9 (2005), pp. 991–1042. arXiv: math/0310083. url: https://doi.org/10.2140/gt.2005.9.991.

[OS04]

Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds”. In: Ann. of Math. (2) 159.3 (2004), pp. 1027–1158. arXiv: math/0101206. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2004.159.1027.