Groupoid の例

Groupoid は, object と morphism の両方に関係するデータとして定義されるので, 具体的な例を知らないと分かりづらい。 基本的な例は, 次の3つである。

• 群は object が1つの groupoid
• 群 \(G\) の集合 \(X\) への作用 \(G\times X\to X\) は object の集合が \(X\) で morphism の集合が \(G\times X\) の groupoid (global quotient groupoid) とみなせる
• 集合 \(X\) の上の同値関係は object の集合を \(X\) とする groupoid とみなせる

逆に, groupoid \(\Gamma \) の morphism は, その object の集合 \(\Gamma _{0}\) の上に同値関係を定める。 群の作用や同値関係の一般化として groupoid を考えるときには, その同値関係による同値類の集合を考える必要がある。Mondello の [Mon08] では coarse space と呼ばれている。 Coarse structure を持つ空間とまぎらわしいので, あまり良い名前とは思えないが。

より具体的には, 群の例の一般化として以下のような groupoid がある。

• 位相空間 の fundamental groupoid
• Weyl groupoid
• Coxeter groupoid

Weyl groupoid は [Hec06] で, Coxeter groupoid は [HY08] で定義された。Weyl groupoid については, Andruskiewitsch らの [AA08] もある。

References

[AA08]

Nicolás Andruskiewitsch and Iván Ezequiel Angiono. “On Nichols algebras with generic braiding”. In: Modules and comodules. Trends Math. Basel: Birkhäuser Verlag, 2008, pp. 47–64. arXiv: math/0703924.

[Hec06]

I. Heckenberger. “The Weyl groupoid of a Nichols algebra of diagonal type”. In: Invent. Math. 164.1 (2006), pp. 175–188. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0474-8.

[HY08]

István Heckenberger and Hiroyuki Yamane. “A generalization of Coxeter groups, root systems, and Matsumoto’s theorem”. In: Math. Z. 259.2 (2008), pp. 255–276. arXiv: math/0610823. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-007-0223-3.

[Mon08]

Gabriele Mondello. “A remark on the homotopical dimension of some moduli spaces of stable Riemann surfaces”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 10.1 (2008), pp. 231–241. arXiv: math/0602111. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/109.