Configuration Space の Compactification

Configuration space の compactification としては, まずは Fulton-MacPherson compactification [FM94] がある。 これは代数多様体の configuration space を blow up を使って compact化したものであるが, 可微分多様体版など, 様々な variation が考えられている。 これらについてまとめたものとして, Sinha の [Sin04] がある。 Fulton-MacPherson compactification を, より対称的にしたものとして Ulyanov の [Uly02] がある。De Concini と Procesi の arrangement の wonderful model も関係ある。\(n\)点のマークの付いた代数曲線の moduli space の compact化も, 当然関係がある。

• Fulton-MacPherson compactification
• Ulyanov の polydiagonal compactification
• Axelrod-Singer compactification [AS94]
• Kontsevich の compactification
• De Concini と Procesi の wonderful model
• 代数曲線の moduli space の compactification

Axelrod-Singer compactification は, Fulton-MacPherson compactification の可微分多様体版であるが, その operad を用いた構成が, Markl [Mar99] により発見されている。

代数曲線の moduli space の適当な compactification は operad の構造を持つ場合もあるが, Fulton-MacPherson compactification からも operad ができる。Getzler と Jones [GJ] による。 その 正則胞体分割 で operad の構造写像と compatible なものが, Salvatore [Sal22] により構成されている。

• Fulton-MacPherson operad

Fulton-MacPherson compactification のように, blow up を使って構成したものとして, Melrose と Singer の scattering configuration space [MS] というものがある。

• scattering configuration space

Configuration space の compactification を組み合せ論の問題に応用することも, Vrecica と Zivaljevic [VŽ11] により考えられている。

単純グラフから定義される configuration space の wonderful compactification は, Ceyhan と Marcolli [CM12] により, Feynman motive の研究に使われている。

Galashin は, [Gal] で associahedron の一般化である poset associahedron を導入したが, associahedron が \(\R \) の configuration space の compactification であることの拡張として, poset configuration space を導入し, poset associahedron がその compactification として表せることを示している。

• poset configuration space

References

[AS94]

Scott Axelrod and I. M. Singer. “Chern-Simons perturbation theory. II”. In: J. Differential Geom. 39.1 (1994), pp. 173–213. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214454681.

[CM12]

Özgür Ceyhan and Matilde Marcolli. “Feynman integrals and motives of configuration spaces”. In: Comm. Math. Phys. 313.1 (2012), pp. 35–70. arXiv: 1012.5485. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-012-1484-1.

[FM94]

William Fulton and Robert MacPherson. “A compactification of configuration spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.1 (1994), pp. 183–225. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946631.

[Gal]

Pavel Galashin. Poset associahedra. arXiv: 2110.07257.

[GJ]

Ezra Getzler and J. D. S. Jones. Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces. arXiv: hep-th/9403055.

[Mar99]

Martin Markl. “A compactification of the real configuration space as an operadic completion”. In: J. Algebra 215.1 (1999), pp. 185–204. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7709.

[MS]

Richard Melrose and Michael Singer. Scattering configuration spaces. arXiv: 0808.2022.

[Sal22]

Paolo Salvatore. “A cell decomposition of the Fulton MacPherson operad”. In: J. Topol. 15.2 (2022), pp. 443–504. arXiv: 1906.07694. url: https://doi.org/10.1112/topo.12224.

[Sin04]

Dev P. Sinha. “Manifold-theoretic compactifications of configuration spaces”. In: Selecta Math. (N.S.) 10.3 (2004), pp. 391–428. arXiv: math/0306385. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-004-0381-7.

[Uly02]

Alexander P. Ulyanov. “Polydiagonal compactification of configuration spaces”. In: J. Algebraic Geom. 11.1 (2002), pp. 129–159. arXiv: math/9904049. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1056-3911-01-00293-4.

[VŽ11]

Siniša T. Vrećica and Rade T. Živaljević. “Fulton-MacPherson compactification, cyclohedra, and the polygonal pegs problem”. In: Israel J. Math. 184 (2011), pp. 221–249. arXiv: 0810.1439. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-011-0066-9.