Graphic Configuration Spaces

完全グラフ \(K_n\) の部分グラフ \(G\) が与えられると, braid arrangement \(\mathcal {A}_{n-1}\) の subarrangement \(\mathcal {A}(G)\) が, \(G\) の辺に対応する超平面だけ取り出して定義される。

• graphic hyperplane arrangement

\(\bbC \) 上の braid arrangement の補集合は, \(\bbC \) の configuration space なので, graph \(G\) からできる arrangement の補集合として, \(G\) に関係した \(\bbC \) の configuration space の変種ができる。 そして, その定義を一般の位相空間 \(X\) に流用して \[ \mathrm {Conf}_{G}(X) = X^n \setminus \bigcup _{(i,j)\in E(G)} H_{i,j}(X), \] と定義することができる。ここで, \(G\) の頂点集合が \(V(G)=\{1,\ldots ,n\}\) であり, 辺集合を \(E(G)\subset V(G)\times V(G)\) とみなしている。また, \(H_{i,j}(X)=\set {(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X^{n}}{x_{i}=x_{j}}\) である。 ここでは, この空間を graphic configuration space と呼ぶことにしよう。 Berceanu らの [Ber+17] では, 向き付け可能な曲面の場合が考えられていて, そこでは partial configuration space と呼ばれているが, あまり良い名前とは思えない。

最初に調べたのは, Eastwood と Huggett [EH07] だろうか。 そこでは, 複素射影空間 \(\CP ^n\) の場合の Euler 標数が \(G\) の chromatic polynomial の \(n+1\) での値になることが示されている。

Baranovsky と Sazdanović [BS12] がホモロジーを計算するための Bentersky-Gitler type のスペクトル系列を構成している。

Dupont [Dup15] によると, Kriz [Kří94] と Totaro [Tot96] による, 代数多様体の configuration space の rational homotopy type の model を Bloch が graphic configuration space に一般化しているらしい。Bloch の preprint はどこから入手できるのかわからないが, モデルは Dupont の論文の最後の section に書いてある。

関連して, graphic configuration space の wonderful compactification は, Ceyhan と Marcolli [CM12] により, Feynman motive の研究に使われている。

一般化として, hypergraph からできる subspace arrangement の補集合として定義される空間がある。Braid arrangement に対応するものは, \(k\)-equal arrangement と呼ばれている。

• \(k\)-equal arrangement

Abstract simplicial complex への一般化は, Cooper と de Silva と Sazdanovic [CSS19] により, subspace arrangement の補集合の一般化として導入されている。 それを用い, 彼等は chromatic polynomial の abstract simplicial complex への一般化を定義している。

• simplicial configuration space

References

[Ber+17]

Barbu Berceanu, Daniela Anca Măcinic, Ştefan Papadima, and Clement Radu Popescu. “On the geometry and topology of partial configuration spaces of Riemann surfaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.2 (2017), pp. 1163–1188. arXiv: 1504 . 04733. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.1163.

[BS12]

Vladimir Baranovsky and Radmila Sazdanovic. “Graph homology and graph configuration spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 7.2 (2012), pp. 223–235. arXiv: 1208 . 5781. url: https://doi.org/10.1007/s40062-012-0006-3.

[CM12]

Özgür Ceyhan and Matilde Marcolli. “Feynman integrals and motives of configuration spaces”. In: Comm. Math. Phys. 313.1 (2012), pp. 35–70. arXiv: 1012.5485. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-012-1484-1.

[CSS19]

Andrew A. Cooper, Vin de Silva, and Radmila Sazdanovic. “On configuration spaces and simplicial complexes”. In: New York J. Math. 25 (2019), pp. 723–744.

[Dup15]

Clément Dupont. “The Orlik-Solomon model for hypersurface arrangements”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 65.6 (2015), pp. 2507–2545. arXiv: 1302.2103. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2015__65_6_2507_0.

[EH07]

Michael Eastwood and Stephen Huggett. “Euler characteristics and chromatic polynomials”. In: European J. Combin. 28.6 (2007), pp. 1553–1560. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2006.09.005.

[Kří94]

Igor Kříž. “On the rational homotopy type of configuration spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.2 (1994), pp. 227–237. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946581.

[Tot96]

Burt Totaro. “Configuration spaces of algebraic varieties”. In: Topology 35.4 (1996), pp. 1057–1067. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(95)00058-5.