Composition Algebras

複素数や四元数では \(q(z)=\bar {z}z\) として quadratic form が定義される。 これを一般化した概念として composition algebra がある。

体 \(k\) 上のベクトル空間 \(A\) に (結合的とは限らない) 積 \(\cdot : A\otimes _{k}A\to A\) と非退化な quadratic form \(q\) が定義されていて \[ q(x\cdot y) = q(x)q(y) \] をみたすもののことである。

解説としては, Elduque の [Eld20] がある。Springer と Veldkamp の本 [SV00] の Chapter 1 にも書かれている。

Elduque の解説では, 単位元を持つ composition algebra を Hurwitz algebra と呼んでいる。恐らく, 単位元を持つ \(\R \) 上の composition algebra は, \(\R \), \(\bbC \), \(\Ha \), \(\mathbb {O}\) 以外に存在しないという Hurwitz の定理にちなんだものだろう。

• Hurwitz の定理

これについては, Rost [Ros96] による monoidal category を用いた証明がある。

Rost の学生だった Boos と Maurer は vector product algebra という種類の algebra を thesis で調べているが, 彼等の thesis はドイツ語で書かれている。 幸い, 彼等の結果の解説を Street が [Str19] として書いている。

• vector product algebra

また Street は, Rost らの仕事を braided monoidal category に一般化している。 Street は, まず braided monoidal additive category での vector product algebra の次元が満すべき条件を string diagram を用いて求め, 標数が \(2\) ではないとき vector product algebra の category と composition algebra の category が同値になることを示すことにより, composition algebra の次元の満す条件を求めている。

References

[Eld20]

Alberto Elduque. “Composition algebras”. In: Algebra and applications 1—non-associative algebras and categories. ISTE, London, 2020, pp. 27–57. arXiv: 1810.09979.

[Ros96]

Markus Rost. “On the dimension of a composition algebra”. In: Doc. Math. 1 (1996), No. 10, 209–214.

[Str19]

Ross Street. “Vector product and composition algebras in braided monoidal additive categories”. In: Comment. Math. Univ. Carolin. 60.4 (2019), pp. 581–604. arXiv: 1812.04143.

[SV00]

Tonny A. Springer and Ferdinand D. Veldkamp. Octonions, Jordan algebras and exceptional groups. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000, pp. viii+208. isbn: 3-540-66337-1. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12622-6.