古典的な代数的K理論

Quillen による higher algebraic \(K\)-theory の定義の発見以前には, 様々な方法で algebraic \(K\)-theory を定義しようという試みがあった。

• \(K_0\) の定義
• \(K_1\) の定義
• \(K_2\) の定義
• Milnor \(K\)-theory [Mil70]

\(K_0\) と \(K_1\) については, Mayer-Vietoris の完全列が成り立つ。

• 環 の cartesian square \[ \xymatrix { A \ar [d] \ar [r] & B \ar [d]^{f} \\ C \ar [r]_{g} & D } \] に対し, \(f\) か \(g\) が全射なら, \(K_0\) と \(K_1\) に関する Mayer-Vietoris の完全列がある

この結果は, Milnor によるものらしい。

これら古典的な algebraic \(K\)-theory については, Milnor の本 [Mil71] がわかりやすい。Bass の [Bas68] という本もある。\(K_2\) については, Dalawat の [Dal06] にまとめらている。

Bak と Brown と Minian と Porter の [Bak+06] に書かれているように, \(K_1\) の定義は J.H.C. Whitehead のよるものである。 より正確には, simple homotpy theory で登場する Whitehead group [Whi50] であるが。

• Whitehead group

その流れで higher algebraic \(K\)-theory の意味付けを考えるという試みを, Bak が [Bak97; Bak98] で行なっている。 そこで定義された global action という概念を詳しく調べているのが, この Bak と Brown と Minian と Porter の論文である。

• global action

References

[Bak+06]

A. Bak, R. Brown, G. Minian, and T. Porter. “Global actions, groupoid atlases and applications”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 101–167. arXiv: math/0606260.

[Bak97]

È. Bak. “Global actions: an algebraic double of a topological space”. In: Uspekhi Mat. Nauk 52.5(317) (1997), pp. 71–112. url: http://dx.doi.org/10.1070/RM1997v052n05ABEH002087.

[Bak98]

A. Bak. “Topological methods in algebra”. In: Rings, Hopf algebras, and Brauer groups (Antwerp/Brussels, 1996). Vol. 197. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 1998, pp. 43–54.

[Bas68]

Hyman Bass. Algebraic \(K\)-theory. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968, pp. xx+762.

[Dal06]

Chandan Singh Dalawat. “Some aspects of the functor \(K_2\) of fields”. In: J. Ramanujan Math. Soc. 21.2 (2006), pp. 129–151. arXiv: math/ 0311099.

[Mil70]

John Milnor. “Algebraic \(K\)-theory and quadratic forms”. In: Invent. Math. 9 (1969/1970), pp. 318–344. url: https://doi.org/10.1007/BF01425486.

[Mil71]

John Milnor. Introduction to algebraic \(K\)-theory. Annals of Mathematics Studies, No. 72. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1971, pp. xiii+184.

[Whi50]

J. H. C. Whitehead. “Simple homotopy types”. In: Amer. J. Math. 72 (1950), pp. 1–57. url: https://doi.org/10.2307/2372133.