Categorification に関連した概念

Categorification を繰り返すと, 高次の圏ができる。 そして, 古典的な概念の高次化ができる。 \(2\)-group や \(2\)-Lie algebra などである。これらについては Baez とその共著者の論文, 例えば, [BN96; Bae97; BD98; BL03; BL04; BC04] など, を見るべきだろう。

• \(2\)-category やより一般に \(n\)-category

Categorification とは言わないが, 通常の四則演算などと類似の操作を category の level でやろう, ということも色々考えられている。 例えば, 微積分については, Goodwillie calculus がその category 的な類似と言えるだろう。

• Goodwillie calculus

Categorification の逆の対応として decategorification を考えるのが普通であるが, 他にも degroupoidification という対応 [BHW; BHW10] がある。また, degeneration という対応も重要である。

• decategorification
• degroupoidification
• degeneration

例えば, monoid は (\(1\)-)category の object が一つに degenerate したものと考える。また object が一つの \(2\)-category が monoidal category である。Cheng と Gurski の[CG11] がある。

References

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[BC04]

John C. Baez and Alissa S. Crans. “Higher-dimensional algebra. VI. Lie \(2\)-algebras”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), 492–538 (electronic). arXiv: math/0307263.

[BD98]

John C. Baez and James Dolan. “Higher-dimensional algebra. III. \(n\)-categories and the algebra of opetopes”. In: Adv. Math. 135.2 (1998), pp. 145–206. arXiv: q-alg/9702014. url: https://doi.org/10.1006/aima.1997.1695.

[BHW]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher D. Walker. Groupoidification Made Easy. arXiv: 0812.4864.

[BHW10]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher D. Walker. “Higher dimensional algebra VII: groupoidification”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 18, 489–553. arXiv: 0908.4305.

[BL03]

John C. Baez and Laurel Langford. “Higher-dimensional algebra. IV. 2-tangles”. In: Adv. Math. 180.2 (2003), pp. 705–764. arXiv: math/9811139. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00018-5.

[BL04]

John C. Baez and Aaron D. Lauda. “Higher-dimensional algebra. V. 2-groups”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), pp. 423–491. arXiv: math/0307200.

[BN96]

John C. Baez and Martin Neuchl. “Higher-dimensional algebra. I. Braided monoidal \(2\)-categories”. In: Adv. Math. 121.2 (1996), pp. 196–244. arXiv: q-alg/9511013. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1996.0052.

[CG11]

Eugenia Cheng and Nick Gurski. “The periodic table of \(n\)-categories II: Degenerate tricategories”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 52.2 (2011), pp. 82–125. arXiv: 0706.2307.