Amplituhedron

Amplintuhedron とは, Arkani-Hamed と Trnka が [AT14b; AT14a] で導入した Grassmann 多様体の totally nonnegative part の, ある線形写像 (から誘導された Grassmannian の間の写像) による像として定義されるものである。 その motivation が, super Yang-Mills theory の scattering amplitude の研究にあるところが, 興味深い。 Cyclic polytope が amplituhedron であることは, Sturmfels の結果 [Stu88] から従う。

Arkani-Hamed と Trnka は, maximal minor が strictly positive である行列から誘導された線形写像を用いたが, より一般の線形写像によるの像を考えたものとして, Lam [Lam16] の導入した Grassmann polytope がある。Lam は, 線型写像に対する条件を緩めるだけでなく, totally nonnegative Grassmannian 全体ではなく, その positroid cell の像を考えている。

• positroid cell
• Grassmann polytope

この Lam の論文の Part 2の最初に書かれているように, totally nonnegative Grassmannian \(\mathrm {Gr}(1,n)_{\ge 0}\) は \((n-1)\)次元単体 \(\Delta ^{n-1}\) と同一視できるので, totally nonnegative Grassmannian は, 単体の一般化と考えることができる。 そして, 単体の面に対応するのが, positroid cell である。

任意の Euclid 空間内の凸多面体は, 単体のアフィン写像による像として表せるので, その類似として positroid cell の線型写像による像のことを “polytope” と呼んでいるようである。

また, Mandelshtam, Pavlov, Pratt [MPP] は, totally nonnegative Grassmannian 全体の像として表される Grassmann polytope のことを Grasstope と呼んで調べている。

• Grasstope

彼等は oriented matroid に対する Grasstope の一般化も考えている。

References

[AT14a]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “Into the Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 12 (2014), p. 182. arXiv: 1312. 7878.

[AT14b]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “The Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 10 (2014), p. 030. arXiv: 1312.2007.

[Lam16]

Thomas Lam. “Totally nonnegative Grassmannian and Grassmann polytopes”. In: Current developments in mathematics 2014. Int. Press, Somerville, MA, 2016, pp. 51–152. arXiv: 1506.00603.

[MPP]

Yelena Mandelshtam, Dmitrii Pavlov, and Elizabeth Pratt. Combinatorics of \(m=1\) Grasstopes. arXiv: 2307.09603.

[Stu88]

Bernd Sturmfels. “Totally positive matrices and cyclic polytopes”. In: Proceedings of the Victoria Conference on Combinatorial Matrix Analysis (Victoria, BC, 1987). Vol. 107. 1988, pp. 275–281. url: https://doi.org/10.1016/0024-3795(88)90250-9.