Ehrhart Polynomial and Related Topics

Ehrhart [Ehr62] は, 格子多面体をある点を中心に \(m\) 倍したときに, 格子点の数がどのように増えるかを調べ, それが \(m\) の多項式であることを証明した。それを Ehrhart 多項式という。

Ehrhart 多項式を学ぶための文献は色々ある。Stanley の本 [Sta97], 日比の本 [日比孝22], Breuer の解説 [Bre15], Beck と Robins の本 [BR15] など。

Ehrhart polynomial の係数が全て正になる多面体がどのようなものか, という問題について何が知られているかは, Castillo と Liu の [CL18] の §1.1 にまとめられている。

De Loera と Haws と Köppe [DHK09a; DHK09b] は, matroid base polytope については, Ehrhart polynomial の係数が全て正であると予想したが, rank \(3\) 以上の全ての rank について Ferroni [Fer22] が反例を構成している。残ったのは rank \(2\) の場合であるが, Ferroni と Jochemko と Schröter [FJS22] により正であることが示された。

多項式としては, やはりその根を知りたい。 Matsui, Higashitani, Yanagawa, Ohsugi, Hibi [Mat+11] によると, computational commutative algebra で最も活発に研究されている話題の一つは, Ehrhart polynomial の根の分布のようである。

当然 Galois 群も気になるところであるが, それについては, Fiecker と Hoffmann と Joswig [FHJ] が, OSCAR という computer algebra system を使って調べている。

Stapledon の [Sta08] では, Erhart polynomial と, stacky fan に associate した Deligne-Mumford stack の orbifold cohomology との関係が述べられていて興味深い。

Ehrhart polynomial に関する Khovanski と Pukholikov の結果 [PK92] を, 偏微分作用素の symbol に対し一般化したのが, Guillemin と Sternberg と Weitsman の [GSW06] である。

De Concini と Procesi と Vergne [DPV10] は, Ehrhart polynomial の一般化として, ベクトル空間の lattice の有限部分集合を与えたとき, 与えられたベクトルを, それらの正の整数を係数とする一次結合で表わす個数を数える関数を考えている。 彼らはそれを partition function と呼んでいる。 多項式にはならないが, ある領域上では quasi-polynomial になるらしい。

• partition function
• quasi-polynomial

Dahmen と Micchelli の仕事 [DM88; DM89], つまり box spline がもとになっているようである。

Quasi-polynomial は rational polytope の Ehrhart polynomial としても現れる。

• Ehrhart quasi-polynomial

他の一般化や変種としては, 次のようなものがある。

• Stapledon [Sta11] の equivariant Ehrhart theory
• Chapoton [Cha16] による \(q\)-analogue
• Higashitani, Kummer, Michalek [HKM17] の interlacing Ehrhart polynomial
• Ludwig と Silverstein [LS17] の Ehrhart tensor polynomial
• Klain [Kla99] による一般化

References

[BR15]

Matthias Beck and Sinai Robins. Computing the continuous discretely. Second. Undergraduate Texts in Mathematics. Integer-point enumeration in polyhedra, With illustrations by David Austin. Springer, New York, 2015, pp. xx+285. isbn: 978-1-4939-2968-9; 978-1-4939-2969-6. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4939-2969-6.

[Bre15]

Felix Breuer. “An invitation to Ehrhart theory: polyhedral geometry and its applications in enumerative combinatorics”. In: Computer algebra and polynomials. Vol. 8942. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, Cham, 2015, pp. 1–29. arXiv: 1405.7647. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-15081-9_1.

[Cha16]

F. Chapoton. “\(q\)-analogues of Ehrhart polynomials”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 59.2 (2016), pp. 339–358. arXiv: 1301.1844. url: https://doi.org/10.1017/S0013091515000243.

[CL18]

Federico Castillo and Fu Liu. “Berline-Vergne valuation and generalized permutohedra”. In: Discrete Comput. Geom. 60.4 (2018), pp. 885–908. arXiv: 1509. 07884. url: https://doi.org/10.1007/s00454-017-9950-3.

[DHK09a]

Jesús A. De Loera, David C. Haws, and Matthias Köppe. “Ehrhart polynomials of matroid polytopes and polymatroids”. In: Discrete Comput. Geom. 42.4 (2009), pp. 670–702. arXiv: 0710.4346. url: https://doi.org/10.1007/s00454-008-9080-z.

[DHK09b]

Jesús A. De Loera, David C. Haws, and Matthias Köppe. “Erratum: Ehrhart polynomials of matroid polytopes and polymatroids [MR2556462]”. In: Discrete Comput. Geom. 42.4 (2009), pp. 703–704. url: https://doi.org/10.1007/s00454-008-9120-8.

[DM88]

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[DM89]

Wolfgang Dahmen and Charles A. Micchelli. “On multivariate \(E\)-splines”. In: Adv. Math. 76.1 (1989), pp. 33–93. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(89)90043-1.

[DPV10]

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[Ehr62]

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[Fer22]

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[FHJ]

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[FJS22]

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[GSW06]

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[HKM17]

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[Kla99]

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[LS17]

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[Mat+11]

Tetsushi Matsui, Akihiro Higashitani, Yuuki Nagazawa, Hidefumi Ohsugi, and Takayuki Hibi. “Roots of Ehrhart polynomials arising from graphs”. In: J. Algebraic Combin. 34.4 (2011), pp. 721–749. arXiv: 1003.5444. url: https://doi.org/10.1007/s10801-011-0290-8.

[PK92]

A. V. Pukhlikov and A. G. Khovanskiı̆. “The Riemann-Roch theorem for integrals and sums of quasipolynomials on virtual polytopes”. In: Algebra i Analiz 4.4 (1992), pp. 188–216.

[Sta08]

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[Sta11]

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[Sta97]

Richard P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 1. Vol. 49. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. With a foreword by Gian-Carlo Rota, Corrected reprint of the 1986 original. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, pp. xii+325. isbn: 0-521-55309-1; 0-521-66351-2.

[日比孝22]

日比孝之. 凸多面体論. 東京: 共立出版, 2022, p. 207. isbn: 9784320114623.