Truncated BP Spectrum

Brown-Peterson spectrum \(\mathrm {BP}\) は, \[ \pi _{*}(\mathrm {BP}) \cong \Z _{(p)}[v_{1},v_{2},\ldots ] \] という係数環を持つ ring spectrum であるが, その生成元を \(v_{n}\) までに制限した truncated \(\mathrm {BP}\) spectrum と呼ばれる spectrum \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) が存在する。つまり \[ \pi _{*}(\mathrm {BP}\langle n\rangle ) \cong \Z _{(p)}[v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}] \] となる spectrum である。

Wilson の [Wil75] で構成された。論文として出版されたのは, Johnson と Wilson の [JW73] の方が先であるが。

特徴付けとしては, Angeltveit と Lind [AL17] による, mod \(p\) cohomology の Steenrod algebra 上の module としての構造によるものがある。

係数環から \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) は「可換な」ring spectrum の構造を持ちそうであるが, spectrum の世界では, ring spectrum の 可換性には様々なレベルがある。つまり, どの \(k\) で \(E_{k}\)-ring spectrum の構造を持つか, という問題がある。 Lawson [Law18] (\(p=2\)) や Senger [Sen] (奇素数) は, \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) が \(n\ge 4\) で \(E_{2p^2+4}\)-ring spectrum の構造を持たないことを示している。 一方で, \(\mathrm {BP}\langle 2\rangle \) は \(p=2\) [HL10] と \(p=3\) [LN12] で \(E_{\infty }\)-ring spectrum になることが示されている。 \(p\ge 5\) での \(\mathrm {BP}\langle 2\rangle \) と \(\mathrm {BP}\langle 3\rangle \) については, 良く分かっていないようである。

一方, \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) の \(\mathrm {BP}\)-algebra spectrum の構造については, Hahn と Wilson の [HW] がある。 \(E_{3}\)-\(\mathrm {BP}\)-algebra の構造を持つことが示されている。

彼等は, \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) の algebraic \(K\)-theory も調べている。

References

[AL17]

Vigleik Angeltveit and John A. Lind. “Uniqueness of \(BP ⟨n⟩\)”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 12.1 (2017), pp. 17–30. arXiv: 1501.01448. url: https://doi.org/10.1007/s40062-015-0120-0.

[HL10]

Michael Hill and Tyler Lawson. “Automorphic forms and cohomology theories on Shimura curves of small discriminant”. In: Adv. Math. 225.2 (2010), pp. 1013–1045. arXiv: 0902 . 2603. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.03.009.

[HW]

Jeremy Hahn and Dylan Wilson. Redshift and multiplication for truncated Brown-Peterson spectra. arXiv: 2012.00864.

[JW73]

David Copeland Johnson and W. Stephen Wilson. “Projective dimension and Brown-Peterson homology”. In: Topology 12 (1973), pp. 327–353.

[Law18]

Tyler Lawson. “Secondary power operations and the Brown-Peterson spectrum at the prime 2”. In: Ann. of Math. (2) 188.2 (2018), pp. 513–576. arXiv: 1703.00935. url: https://doi.org/10.4007/annals.2018.188.2.3.

[LN12]

Tyler Lawson and Niko Naumann. “Commutativity conditions for truncated Brown-Peterson spectra of height 2”. In: J. Topol. 5.1 (2012), pp. 137–168. arXiv: 1101.3897. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtr030.

[Sen]

Andrew Senger. The Brown-Peterson spectrum is not \(E_{2(p^2+2)}\) at odd primes. arXiv: 1710.09822.

[Wil75]

W. Stephen Wilson. “The \(\Omega \)-spectrum for Brown-Peterson cohomology. II”. In: Amer. J. Math. 97 (1975), pp. 101–123. url: http://dx.doi.org/10.2307/2373662.