Schwarz Genus or Sectional Category

Fiber bundle \[ p: E \rarrow {} B \] に対し, \(B\) をいくつの open set に分ければ, その上で局所自明化ができるか, という問題を考えることができる。

Principal bundle の場合には, 局所的な cross section を持つかどうかということなので, 局所的な cross section を持つようないくつの開集合で覆えるか, という定義なら, 一般の fibration にも定義できる。 つまり, fibration に対する Lusternik-Schnierelmann category の類似である。

De Concini, Procesi, Salvetti の論文 [DPS04] では, これを Schwarz genus と呼んでいる。そこでは, 1961 年の A.S. Schwarz のロシア語の論文を参照しているが, AMS のデータベースにはその論文は登録されていないようである。と書いていたら, 琉球大学の佃さんから, AMS の Translation series 2 の [Bar+66] に [Šva61; Šva62] の英訳として収録されていることを教えてもらった。

Calcines と Vandembroucq [GV10] は sectional category と呼んでいる。 こちらの名前の方が, Lusternik-Schnierelmann category との関係が想像しやすい。 彼等は weak sectional category も定義している。

Path space の fibration \[ \pi : \mathrm {Map}(I,X) \longrightarrow X\times X \] の場合には, Farber の定義した topological complexity という不変量と一致する。

De Concini, Procesi, Salvetti が考えている問題は, 複素平面の configuration space に関する covering \[ \mathrm {Conf}(\bbC ,j) \longrightarrow \mathrm {Conf}(\bbC ,j)/\Sigma _j \] である。それについては, G. Arone も [Aro06] で調べている。 最初に調べたのは, Smale [Sma87] なのだろうか。

更に hyperplane arrangement に関係した類似の covering が De Concini と Salvetti により [DS00] で考察されている。

Karasev と Volovikov [KV11] は, 有限群の fixed point free action を持つ空間 \(X\) に対し, fixed point free genus \(g_G(X)\) を定義している。 そして, 素数 \(p\) と \(G=\Z /p\Z \) に対し, smooth oriented manifold \(M\) の \(p\) 点の cofiguration space \(\mathrm {Conf}_p(M)\) の fixed point free genus \(g_{G}(\mathrm {Conf}_n(M))\) の下からの評価を得ている。 この結果は, 球面の場合に [Bas+14] の結果とうまく合っている。

Basabe, Gonzalez, Rudyak, Tamaki [Bas+14] が higher symmetric topological complexity との関係で調べた fibration について, Karasev と Landweber [KL12] が equivariant section を持つかどうかという問題を考えている。

一般化としては, Murillo ら [Día+12] による model category (正確には \(J\)-category) の文脈で定義されたものがある。Moraschini と Murillo [MM16] は, 位相空間の model category の場合を調べている。

他にも以下のようなものがある。

• Volovikov [Vol00] による equivariant 版
• weak sectional category [GV10]
• rational sectional category [LS20]
• relative sectional category [GGV19]

References

[Aro06]

Gregory Arone. “A note on the homology of \(\Sigma _n\), the Schwartz genus, and solving polynomial equations”. In: An alpine anthology of homotopy theory. Vol. 399. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 1–10. arXiv: math/0505388. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/399/07509.

[Bar+66]

T.M. Baranovic et al. American Mathematical Society Translations. Series 2, Vol. 55: Eleven papers on topology and algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1966, pp. iv+304.

[Bas+14]

Ibai Basabe, Jesús González, Yuli B. Rudyak, and Dai Tamaki. “Higher topological complexity and its symmetrization”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.4 (2014), pp. 2103–2124. arXiv: 1009.1851. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2014.14.2103.

[Día+12]

F. J. Díaz, J. M. Garcia Calcines, P. R. García Diaz, A. Murillo Mas, and J. Remedios Gómez. “Abstract sectional category”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 19.3 (2012), pp. 485–505. arXiv: 1106.5010. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1347642378.

[DPS04]

C. De Concini, C. Procesi, and M. Salvetti. “On the equation of degree 6”. In: Comment. Math. Helv. 79.3 (2004), pp. 605–617. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00014-004-0809-x.

[DS00]

C. De Concini and M. Salvetti. “Cohomology of Coxeter groups and Artin groups”. In: Math. Res. Lett. 7.2-3 (2000), pp. 213–232.

[GGV19]

Jesús González, Mark Grant, and Lucile Vandembroucq. “Hopf invariants for sectional category with applications to topological robotics”. In: Q. J. Math. 70.4 (2019), pp. 1209–1252. arXiv: 1405.6891. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haz019.

[GV10]

J. Garcia-Calcines and L. Vandembroucq. “Weak sectional category”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 82.3 (2010), pp. 621–642. arXiv: 0901.4426. url: https://doi.org/10.1112/jlms/jdq048.

[KL12]

Roman Karasev and Peter Landweber. “Estimating the higher symmetric topological complexity of spheres”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.1 (2012), pp. 75–94. arXiv: 1106.1549. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.75.

[KV11]

R. N. Karasev and A. Yu. Volovikov. “Configuration-like spaces and coincidences of maps on orbits”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.2 (2011), pp. 1033–1052. arXiv: 0911.4338. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.1033.

[LS20]

Gregory Lupton and Samuel Bruce Smith. “The rational sectional category of certain universal fibrations”. In: Rev. Mat. Complut. 33.1 (2020), pp. 187–196. arXiv: 1701.06695. url: https://doi.org/10.1007/s13163-019-00308-z.

[MM16]

Marco Moraschini and Aniceto Murillo. “Abstract sectional category in model structures on topological spaces”. In: Topology Appl. 199 (2016), pp. 23–31. arXiv: 1506.08421. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2015.12.002.

[Sma87]

Steve Smale. “On the topology of algorithms. I”. In: J. Complexity 3.2 (1987), pp. 81–89. url: http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(87)90021-5.

[Šva61]

A. S. Švarc. “The genus of a fibered space”. In: Trudy Moskov. Mat. Obšč. 10 (1961), pp. 217–272.

[Šva62]

A. S. Švarc. “The genus of a fibre space”. In: Trudy Moskov Mat. Obšč. 11 (1962), pp. 99–126.

[Vol00]

A. Yu. Volovikov. “On the index of \(G\)-spaces”. In: Mat. Sb. 191.9 (2000), pp. 3–22. url: http://dx.doi.org/10.1070/SM2000v191n09ABEH000504.