多面体と代数学

多面体代数的構造の関係について, 古い話題としては, Newton polytope がある。より新しいものとしては, Stanley-Reisner 環が重要なものである。多項式と多面体の関係について, 何か一つ読むとすれば, Sturmfels の [Stu96] が良いように思う。

Newton polytope は, 現在でも重要な研究対象である。Sturmfels と Tevelev と Yu の [STY07] では, tropical geometry を用いて [SY94] で提示された問題について述べている。

Ichim と Römer は [IR07] で Stanley-Reiser 環と affine monoid ring の両方を含む環を考えている。

ある内積空間の中の凸多面体全体の集合に対し, Minkowski sum は可換な semigroup の構造を定義する。よってその Grothendieck group が考えられる。その元を virtual polytope という。

Buchstaber と Erokhovets [BE] は, 全ての凸多面体から環を作ることを考えている。

  • ring of polytopes

Okounkov は, [Oko96] で projective variety の上の linear series に対し convex body を対応させる方法を考えた。Smooth toric variety の場合は convex polytope になるらしい。 Lazarsfeld と Mustata が [LM09] で Okounkov の構成をより一般的な枠組みで考えようとしている。

  • Okounkov body

表現論には, 様々な組み合せ論的構造が現れるが, そのような組み合せ論的データからは, 当然多面体も構成されている。 目についたものを記録すると以下のようになる。

  • Gel\('\)fand-Tsetlin (or Cetlin or Zetlin) polytope [GC50]
  • orbit polytope [DE09]
  • Mirković-Vilonen polytope [And03; Kam10; TW16]
  • Khovanov-Lauda-Rouquier polytope [TW16]
  • pseudo-Weyl polytope [Kam10]
  • affine Mirković-Vilonen polytope [BKT14]
  • string polytope [Lit98; Ste22]
  • \(\mathrm {Sp}_{2n}\)-polytope [Žel73]
  • Nakashima-Zelevinsky string polytope [NZ97]
  • FFLV polytope [FFL11a; FFL11b]

全く異なる方向の代数との関連では, \(p\)-adically closed field [AK65] 上の凸多面体がある。Darnière [Dar17] により導入された。

  • \(p\)-adically closed field 上の polytope

その目的は, \(p\)-adically closed field 上定義された semialgebraic set単体分割の存在の証明である。

References

[AK65]

James Ax and Simon Kochen. “Diophantine problems over local fields. II. A complete set of axioms for \(p\)-adic number theory”. In: Amer. J. Math. 87 (1965), pp. 631–648. url: http://dx.doi.org/10.2307/2373066.

[And03]

Jared E. Anderson. “A polytope calculus for semisimple groups”. In: Duke Math. J. 116.3 (2003), pp. 567–588. arXiv: math/0110225. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11636-1.

[BE]

Victor M. Buchstaber and Nickolai Erokhovets. Ring of Polytopes, Quasi-symmetric functions and Fibonacci numbers. arXiv: 1002. 0810.

[BKT14]

Pierre Baumann, Joel Kamnitzer, and Peter Tingley. “Affine Mirković-Vilonen polytopes”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 120 (2014), pp. 113–205. arXiv: 1110 . 3661. url: https://doi.org/10.1007/s10240-013-0057-y.

[Dar17]

Luck Darnière. “Polytopes and simplexes in \(p\)-adic fields”. In: Ann. Pure Appl. Logic 168.6 (2017), pp. 1284–1307. arXiv: 1602.07209. url: https://doi.org/10.1016/j.apal.2017.01.001.

[DE09]

Mathieu Dutour Sikirić and Graham Ellis. “Wythoff polytopes and low-dimensional homology of Mathieu groups”. In: J. Algebra 322.11 (2009), pp. 4143–4150. arXiv: 0812.4291. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.09.031.

[FFL11a]

Evgeny Feigin, Ghislain Fourier, and Peter Littelmann. “PBW filtration and bases for irreducible modules in type \(\mathrm {A}_n\)”. In: Transform. Groups 16.1 (2011), pp. 71–89. url: https://doi.org/10.1007/s00031-010-9115-4.

[FFL11b]

Evgeny Feigin, Ghislain Fourier, and Peter Littelmann. “PBW filtration and bases for symplectic Lie algebras”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 24 (2011), pp. 5760–5784. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnr014.

[GC50]

I. M. Gel\('\)fand and M. L. Cetlin. “Finite-dimensional representations of the group of unimodular matrices”. In: Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.) 71 (1950), pp. 825–828.

[IR07]

Bogdan Ichim and Tim Römer. “On toric face rings”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.1 (2007), pp. 249–266. arXiv: math/0605150. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.09.010.

[Kam10]

Joel Kamnitzer. “Mirković-Vilonen cycles and polytopes”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 245–294. arXiv: math/0501365. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.245.

[Lit98]

P. Littelmann. “Cones, crystals, and patterns”. In: Transform. Groups 3.2 (1998), pp. 145–179. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01236431.

[LM09]

Robert Lazarsfeld and Mircea Mustaţă. “Convex bodies associated to linear series”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 42.5 (2009), pp. 783–835. arXiv: 0805.4559. url: https://doi.org/10.24033/asens.2109.

[NZ97]

Toshiki Nakashima and Andrei Zelevinsky. “Polyhedral realizations of crystal bases for quantized Kac-Moody algebras”. In: Adv. Math. 131.1 (1997), pp. 253–278. url: https://doi.org/10.1006/aima.1997.1670.

[Oko96]

Andrei Okounkov. “Brunn-Minkowski inequality for multiplicities”. In: Invent. Math. 125.3 (1996), pp. 405–411. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050081.

[Ste22]

Christian Steinert. “A diagrammatic approach to string polytopes”. In: Algebr. Comb. 5.1 (2022), pp. 63–91. arXiv: 2011.12003. url: https://doi.org/10.5802/alco.196.

[Stu96]

Bernd Sturmfels. Gröbner bases and convex polytopes. Vol. 8. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. xii+162. isbn: 0-8218-0487-1.

[STY07]

Bernd Sturmfels, Jenia Tevelev, and Josephine Yu. “The Newton polytope of the implicit equation”. In: Mosc. Math. J. 7.2 (2007), pp. 327–346, 351. arXiv: math/0607368.

[SY94]

Bernd Sturmfels and Jie Tai Yu. “Minimal polynomials and sparse resultants”. In: Zero-dimensional schemes (Ravello, 1992). Berlin: de Gruyter, 1994, pp. 317–324.

[TW16]

Peter Tingley and Ben Webster. “Mirković-Vilonen polytopes and Khovanov-Lauda-Rouquier algebras”. In: Compos. Math. 152.8 (2016), pp. 1648–1696. arXiv: 1210.6921. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X16007338.

[Žel73]

D. P. Želobenko. Compact Lie groups and their representations. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 40. Translated from the Russian by Israel Program for Scientific Translations. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1973, pp. viii+448.