Total Positivity

どの小行列式も正になるような実係数行列は totally positive と呼ばれる。

Fomin [Fom10] によると total positivity は次のようなことと関係があるようである:

  • classical mechanics,
  • probability,
  • discrete potential theory,
  • asymptotic representation theory,
  • algebraic and enumerative combinatorics,
  • linear algebra and its applications.

Kodama と Williams [KW11; KW14] によると, KP equation とも関係がある。

Lusztig [Lus94] は, 古典的な行列の total positivity を real reductive group の totally positive part に一般化した。Lusztig による total positivity の解説 [Lus98; Lus08] もある。

  • tatally nonnetative Grassmannian
  • totally nonnegative flag variety

それらの cell 分割については, Fomin と Zelevinsky [FZ99] や Rietsch [Rie99] などにより研究されている。

Grassmannian の場合には, Postnikov が [Pos] で 組み合せ論的に色々しらべている。

Williams [Wil07] は totally nonnegative flag variety は regular CW complex であることを予想している。 Postnikov は [Pos] の Introduction で Grassmannian の場合は closed ball と同相な regular CW complex の構造を持つことを予想している。

Rietsch と Williams [RW10] は, discrete Morse theory を用いて一般の flag variety で cell の closure が collapsible であることを示している。

Grassmannian の場合の cell 分解が CW 複体であることは, Postnikov, Speyer, Williams [PSW09] が証明している。 Galashin, Karp, Lam [GKL22] は, totally nonnegative Grassmannian が closed ball と同相であることを証明した, と主張している。

Galashin らは, cyclically symmetric amplituhedron も closed ball と同相であることを証明している。

  • amplituhedron

Amplintuhedron とは, Arkani-Hamed と Trnka が [AT14b; AT14a] で導入した Grassmann 多様体の totally nonnegative part の線形写像 (から誘導された Grassmannian の間の写像) による像として定義されるものである。 その motivation は super Yang-Mills theory の scattering amplitude の研究にあるところが興味深い。Lam [Lam] により tree amplituhedron の表す cohomology class が調べられている。

B. Keller [Kel11] と Fomin [Fom10] によると, Fomin と Zelevinsky が cluster algebra を考えた目的の一つは, total positivity に対する組み合せ論的なアプローチを見付けることだったようである。

References

[AT14a]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “Into the Amplituhedron”. In: JHEP 12 (2014), p. 182. arXiv: 1312.7878.

[AT14b]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “The Amplituhedron”. In: JHEP 10 (2014), p. 030. arXiv: 1312.2007.

[Fom10]

Sergey Fomin. “Total positivity and cluster algebras”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II. New Delhi: Hindustan Book Agency, 2010, pp. 125–145. arXiv: 1005. 1086.

[FZ99]

Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “Double Bruhat cells and total positivity”. In: J. Amer. Math. Soc. 12.2 (1999), pp. 335–380. arXiv: math/9802056. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-99-00295-7.

[GKL22]

Pavel Galashin, Steven N. Karp, and Thomas Lam. “The totally nonnegative Grassmannian is a ball”. In: Adv. Math. 397 (2022), Paper No. 108123, 23. arXiv: 1707 . 02010. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.108123.

[Kel11]

Bernhard Keller. “Categorification of acyclic cluster algebras: an introduction”. In: Higher structures in geometry and physics. Vol. 287. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, New York, 2011, pp. 227–241. arXiv: 0801. 3103. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4735-3_11.

[KW11]

Yuji Kodama and Lauren K. Williams. “KP solitons, total positivity, and cluster algebras”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 108.22 (2011), pp. 8984–8989. arXiv: 1105 . 4170. url: https://doi.org/10.1073/pnas.1102627108.

[KW14]

Yuji Kodama and Lauren Williams. “KP solitons and total positivity for the Grassmannian”. In: Invent. Math. 198.3 (2014), pp. 637–699. arXiv: 1106.0023. url: https://doi.org/10.1007/s00222-014-0506-3.

[Lam]

Thomas Lam. Amplituhedron cells and Stanley symmetric functions. arXiv: 1408.5531.

[Lus08]

G. Lusztig. “A survey of total positivity”. In: Milan J. Math. 76 (2008), pp. 125–134. arXiv: 0705 . 3842. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00032-008-0083-2.

[Lus94]

G. Lusztig. “Total positivity in reductive groups”. In: Lie theory and geometry. Vol. 123. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1994, pp. 531–568.

[Lus98]

George Lusztig. “Introduction to total positivity”. In: Positivity in Lie theory: open problems. Vol. 26. De Gruyter Exp. Math. de Gruyter, Berlin, 1998, pp. 133–145.

[Pos]

Alexander Postnikov. Total positivity, Grassmannians, and networks. arXiv: math/0609764.

[PSW09]

Alexander Postnikov, David Speyer, and Lauren Williams. “Matching polytopes, toric geometry, and the totally non-negative Grassmannian”. In: J. Algebraic Combin. 30.2 (2009), pp. 173–191. arXiv: 0706.2501. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-008-0160-1.

[Rie99]

Konstanze Rietsch. “An algebraic cell decomposition of the nonnegative part of a flag variety”. In: J. Algebra 213.1 (1999), pp. 144–154. arXiv: alg-geom/9709035. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7665.

[RW10]

Konstanze Rietsch and Lauren Williams. “Discrete Morse theory for totally non-negative flag varieties”. In: Adv. Math. 223.6 (2010), pp. 1855–1884. arXiv: 0810.4314. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.10.011.

[Wil07]

Lauren K. Williams. “Shelling totally nonnegative flag varieties”. In: J. Reine Angew. Math. 609 (2007), pp. 1–21. arXiv: math/0509129. url: https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.059.