Symmetric monoidal category など“可換な積”を持つ圏

Monoidal category は, “積”が unit を持ち, 結合法則をみたすものであるが, 更に可換性をみたすとき symmetric monoidal category という。もちろん, 可換性についても coherence condition として正確に記述すべきであるが。

Markl と Shnider と Stasheff による operad の本 [MSS02] には symmetric monoidal category についての説明もある。Hovey のモデル圏の本 [Hov99] の Chapter 4 にも少し解説がある。 他にも quantum group の文献にも解説がある。Kassel の本 [Kas95] など。 様々な条件のついた monoidal category の定義を集めたものとして Selinger の [Sel11] がある。辞書的に使うには便利である。 ちょっと書き方に癖があるが。

Coherency condition は面倒なので, 結合性, 可換性, unit 全てについて strict になっているものを考えることもある。そのようなものを permutative category という。Isbell の結果 [Isb69] により, 任意の symmetric monoidal category は permutative category と同値になる。

代数的トポロジーとの関係では, まず大きく二つの方向がある。 一つは無限ループ空間, もう一つは operad である。

Operad は, 元々 May により位相空間の圏で定義され, 多重ループ空間の理論に用いられた概念であるが, その定義では位相空間の圏が symmetric monoidal category であることしか使われていない。より一般の symmetric monoidal category でも operad の定義をそのまま適用できる。 現在様々な分野で operad の概念が用いられているが, その基礎として symmetric monoidal category は重要である。そのため, Markl と Shnider と Stasheff による operad の本 [MSS02] には symmetric monoidal category についての説明がある。

Spectrum の category の symmetric monoidal structure と合うような symmetric monoidal category の category の symmetric monoidal structure については, Schmitt の [Sch] で考えられている。

Small symmetric monoidal category の間の関手に対し, Getzler が [Get09] で pattern という概念を定義している。 Colored operad を一般化する概念のようである。

  • pattern

Symmetric monoidal cateogry \(\mathcal {C}\) では, ある object を tensor する関手 \[ \otimes X : \mathcal {C} \longrightarrow \mathcal {C} \] が right adjoint \[ (-)^X : \mathcal {C} \longrightarrow \mathcal {C} \] を持つことが多い。更に, \(Y^X\) が \(X\) から \(Y\) への morphism の集合と同一視されることも多い。つまり \(\mathcal {C}\) が \(\mathcal {C}\) により enrich された圏になるのである。 これらが成り立つとき “closed” な圏であるという。例えば, [Bor94] などに解説がある。

Symmetric monoidal category の dualizable object に対しては, trace の概念が定義できる。 Ponto と Shulman の解説 [PS14] を読むとよい。

その一般化も色々考えられている。Joyal と Street と Verity [JSV96] は, symmetric monoidal という条件を braided monoidal という条件に弱めることを考えた。

Picard category という種類の symmetric monoidal category は, triangulated category 上の determinant functor の値域となるものである。Breuning の [Bre11] に定義がある。

群作用を持つ symmetric monoidal category は, equivariant homotopy theory で使われる。 Schwede [Sch22] で global algebraic \(K\)-theory のために導入した parsummable category という構造もある。

他に構造を持ったsymmetric monoidal categoryとしては, Fong の thesis [Fon] で導入された hypergraph category がある。 Network diagram を記述するための導入された。Fong の仕事については, Baez による blog 記事もある。

  • hypergraph category

全ての object が symmetric monoidal structure と compatible な comonoid structure を持つ symmetric monoidal category は, computer science確率論などに登場する。 Fritz と Liang [FL23] は, そのような構造を gs-monooidal category と呼んでいる。更に, monoidal category としての unit が terminal object であるものは Markov category と呼ばれている。

  • gs-monoidal category
  • Markov category

最近ではより高次の symmetric monoidal bicategory もよく使われるようになってきた。 \((\infty ,1)\)-category での symmetric monoidal structure についても Lurie によって考えられている。

2つの symmetric monoidal category の間の functor category の上には, Day convolution により symmetric monoidal structure が定義される。

  • Day convolution

Glasman の [Gla16] では, それが symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category に一般化されている。この Day convolution は Day の 1970年の thesis で定義されたも のである。Day の thesis は Street の website から download できる。

他に参考になるものとしては, nLab の記事がある。

References

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 2. Vol. 51. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories and structures. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+443. isbn: 0-521-44179-X.

[Bre11]

Manuel Breuning. “Determinant functors on triangulated categories”. In: J. K-Theory 8.2 (2011), pp. 251–291. arXiv: math/0610435. url: https://doi.org/10.1017/is010006009jkt120.

[FL23]

Tobias Fritz and Wendong Liang. “Free gs-monoidal categories and free Markov categories”. In: Appl. Categ. Structures 31.2 (2023), Paper No. 21, 31. arXiv: 2204.02284. url: https://doi.org/10.1007/s10485-023-09717-0.

[Fon]

Brendan Fong. The Algebra of Open and Interconnected Systems. arXiv: 1609.05382.

[Get09]

Ezra Getzler. “Operads revisited”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I. Vol. 269. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 675–698. arXiv: math/0701767. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_16.

[Gla16]

Saul Glasman. “Day convolution for \(\infty \)-categories”. In: Math. Res. Lett. 23.5 (2016), pp. 1369–1385. arXiv: 1308 . 4940. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n5.a6.

[Hov99]

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[Isb69]

John R. Isbell. “On coherent algebras and strict algebras”. In: J. Algebra 13 (1969), pp. 299–307.

[JSV96]

André Joyal, Ross Street, and Dominic Verity. “Traced monoidal categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119.3 (1996), pp. 447–468. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100074338.

[Kas95]

Christian Kassel. Quantum groups. Vol. 155. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. xii+531. isbn: 0-387-94370-6. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0783-2.

[Man10]

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[May78]

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[MSS02]

Martin Markl, Steve Shnider, and Jim Stasheff. Operads in algebra, topology and physics. Vol. 96. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, pp. x+349. isbn: 0-8218-2134-2. url: https://doi.org/10.1090/surv/096.

[PS14]

Kate Ponto and Michael Shulman. “Traces in symmetric monoidal categories”. In: Expo. Math. 32.3 (2014), pp. 248–273. arXiv: 1107. 6032. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2013.12.003.

[Sch]

Vincent Schmitt. Tensor product for symmetric monoidal categories. arXiv: 0711.0324.

[Sch22]

Stefan Schwede. “Global algebraic K-theory”. In: J. Topol. 15.3 (2022), pp. 1325–1454. arXiv: 1912.08872.

[Sel11]

P. Selinger. “A survey of graphical languages for monoidal categories”. In: New structures for physics. Vol. 813. Lecture Notes in Phys. Heidelberg: Springer, 2011, pp. 289–355. arXiv: 0908.3347. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12821-9_4.

[Tho95]

R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118 (electronic).