小圏と位相圏に関する基本的な概念

小圏は, 4つのデータから成る: object の集合, morphism の集合, composition, 各objectに対する identity morphism である。 位相圏や, より一般に, ある圏の small category object を定義するためには, 小圏 を object の集合と morphims の集合とそれらの間の structure map の条件として記述しておく必要がある。

  • small category \(C\) を objectの集合 \(C_0\) と morphism の集合 \(C_1\) とそれらの間の写像 \begin{align*} s & : C_1 \longrightarrow C_0 \\ t & : C_1 \longrightarrow C_0 \\ \circ & : C_1\times _{C_0} C_1 \rarrow{} C_1 \\ 1 & : C_0 \longrightarrow C_1 \end{align*}

    に関する条件で記述すること。ここで \(C_1\times _{C_0} C_1\)は 次のfiber productである: \[ \xymatrix{ C_1\times _{C_0} C_1 \ar [r] \ar [d] & C_1 \ar [d]^{t} \\ C_1 \ar [r]_{s} & C_0 } \]

このように小圏を表わしておけば, structure map \(\circ , s, t, 1\) の連続性により, 位相圏を定義することができる。そしてより一般に, object や morphism の集合がある構造を持った圏を考えることもできる。 もっともそのためには, Day と Street が [DS04] で書いているような見方をした方がよい。 これについては, Schwede と Shipley が [SS03] で enriched version を考えていて, そこでは Mac Lane の [Mac98] が挙げられている。

  • comma category \(\category{Set}\downarrow X\times X\) は fiber product により monoidal category になる。
  • 集合 \(X\) を object の集合とする small category とは, \(\category{Set}\downarrow X\times X\) の monoid object のこと。
  • 位相空間 \(X\) を object の空間とする topological category とは, \(\category{Top}\downarrow X\times X\) の monoid object のこと。

Topological category については, [Bor94; IJ02] などで扱われている。

この Day と Street の視点からは, small category の4つの structure map の内, source map と target map が本質的であることが分かる。実際, small category の定義から composition と identity morphism を省いたものは、 有向グラフ, つまり quiver と呼ばれ, 様々な分野で使われている基本的な概念である。

Small category からは composition と identity を忘れることにより, quiver ができるが, 逆に, “quiver から生成された free small category” を考えることもできる。

Quiver に対しては, その表現は重要な概念であるが, より一般に small category の表現を考える方が自然である。

  • small category \(X\) の Abelian category \(\bm{A}\) での表現とは, 関手 \[ F : X \longrightarrow \bm{A} \] のこと。
  • quiver \(Q\) の表現とは, \(Q\) で生成された free small category の表現のこと。

このように考えると, poset や群などのような, small category と見なせる構造を統一して扱えて便利である。 Poset を扱う際には, その incidence algebra が重要であるが, その定義は small category に一般化できる。

Bessis は, [Bes] で, 部分的に composition が定義された quiver を germ という名前で呼び, それから生成された free small category を定義している。

  • germ とそれから定義された free small category

Small category に対する構成の内, coequalizer については, Bednarczyk らの [BBP99] がある。

Babson と Kozlov は [BK05] で群の作用による poset の quotient を考えるために, loopfree category という概念を導入している。Kozlov の本 [Koz08] では acylic category と呼ばれている。ここでは, acyclic category と呼ぶことにしよう。これは poset と一般の small category の中間に位置する概念として有用な概念に思われる。

  • loopfree category または acyclic category
  • poset の群作用による quotient は acyclic category
  • acyclic category の object の集合には morphism があるかどうかで partial order が定義できる

有限posetを表示する方法として, Hasse diagram がある。そして, object の集合上に rank function が定義される。これを一般化して, 様々な rank 付きの small category が考えられている。

各 object の endmorphism が isomorphism しかないものは, EI-category と呼ばれている。Lück の [Lüc89] や Fiore と Lück と Sauer の [FLS11] や Li の [Li] など。

  • EI-category

Lück の [Lüc89] は, 変換群に関する本であるが, そこで EI-category が登場するのは, 群の orbit category が EI-category になるからである。Lück はそこで, Noether環上の finite EI-category 上の module (functor) が Noetherian であることを示しているが, それをある種の無限 EI-category に拡張したものとして, Gan と Liの [GL] がある。

小圏とposetの関係としては, del Hoyo の [Hoy08] で調べられている barycentric subdivision によ るものがある。

  • small category の barycentric subdivision は acyclic category
  • acyclic category の barycentric subdivision は poset, よって任意の小圏 \(X\) に対し, \(\mathrm{Sd}^2(X)\) は poset になる
  • \(BX\) と \(B\mathrm{Sd}(X)\) はホモトピー同値

このように, 小圏を poset の一般化として考え, 組み合せ論の対象とみなすことも最近は多い。 例えば, Leinster は小圏の Möbius関数 を [Lei08] で定義している。Leinster は, 更に小圏の Euler characteristic も定義している。

圏論的な極限を考えるときは, 小圏はその index category として現れる。その際には filtering という条件は有用である。

  • 小圏が, filtering であることの定義 (例えば Bass の [Bas68])

Small category (topological category) を幾何学的対象として扱う際には, 次の構成が重要である。

  • small (topological) category \(C\) の nerve \(N_*(C)\)
  • small (topological) category \(C\) の 分類空間 \(BC\)

このように, 位相空間や simplicial set と比較できるので, 幾何学的対象とみなすこともできる。特に, 位相空間などで定義された概念の類似が定義できることが多い。

  • small category の covering
  • small category の基本群

Small category の covering や基本群については, 代数学の研究者により, 古くから調べられてきた。\(k\)-algebra は object 1つの \(k\)-linear category とみなすことができるからである。Bongartz と Gabriel の [BG82], Cibils と Redondo と Solotarの[CRS12] などを見るとよい。それらは \(k\)-linear category で議論しているが, 定義は \(k\)-linear でない場合にも \(\oplus \) を \(\amalg \) に変えればそのまま使える。ただし Cibils と Redondo と Solotar の [CRS12] の intrinsic fundamental group は \(k\)-linear な場合のみ定義される。また, それらの定義は, quiver や relation を持った quiver にも拡張できる。例えば, Le Meur の [Le 07] など。 Leinster の意味の Euler標数zeta関数の視点から, ramified covering を定義するという試みもある。Noguchi の [Nog14] である。

  • small category の ramified covering

ある小圏 \(C\) から小圏の圏への関手 \[ F : C \longrightarrow \category{Cat} \] からは, Grothendieck construction という操作で新しい小圏を作ることができる。 より一般に, (op)lax functor に対してもその定義をそのまま用いることができる。

Discrete な場合には, small category の分類空間の性質については, Quillen の [Qui73] を見るとよい。そこで用いられている fibered category などの概念は, 元々は, Grothendieck [SGA171] により導入されたものである。

References

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