実および複素代数多様体

実数および複素数体上の代数多様体は, その closed point の集合に analytic topology を入れ, 位相空間とみなすことができる。 古典的に「多項式で定義された空間」であるが, 現在でも重要な研究対象であることには変りはない。

まず, smooth かどうかで扱いが大きく異なる。

  • \(\R \) 上の smooth algebraic variety は \(C^{\infty }\)級実多様体になる。
  • \(\bbC \) 上の smooth algebraic variety は複素多様体になる。

逆に smooth manifold をその上の \(C^{\infty }\)級関数の成す環を用いて, 代数幾何的に調べるということも考えられる。Joyce は [Joy19] で \(C^{\infty }\)-ring 上の代数幾何学を構築しようとしている。

Smooth でない variety を調べる際には, まずその特異点を解消する, というのが一つの方法である。

  • 広中の特異点の解消定理

Hauser が AMS の Bulletin に解説 [Hau03] を書いている。

特異点を持つ algebraic variety の topology について, これまでに何が分っていて今何が問題かということについては, Totaro の ICM2002 での講演録 [Tot02] を読むのがいいだろう。Smooth な場合に定義された様々な不変量が, 特異点を持つ場合にも拡張されていることがわかる。

Dimca [Dim] は, 複素数体上で, \(\CP ^n\) 内の complete intersection の complement の連結性を調べている。

  • complete intersection

\(\bbC ^2\) の中の algebraic curve を plane curve というが, その complement のトポロジーでさえまだよくわからないことが多い。実次元で考えると, \(\R ^4\) の中の \(2\)次元多様体なので, 結び目の次元を一つ上げたような感じである。Plane curve の complement については, [Lib; Oka05; LM] などといった文献がある。 Libgober のホームページには plane singular curve の complement についての問題について書いたものがある。

Real algebraic set のトポロジーについて調べてきたのは, Akbulut と King である。 [AK92] という本を出している。Akbulut は [Akb06] で, 多様体がいつ real algebraic set と同相 (微分同相) になるか, という問題についての survey を書いている。 また, 位相空間がいつ real algebraic set と同相になるかという問題につい ては, McCrory と Parusiński の survey [MP07] を見るとよい。 その中で重要な役割を果たしているのは, Sullivan の結果 [Sul71] とその一般化である。

  • real algebraic set \(X\) の任意の点 \(x\) に対し, その link の Euler 標数は偶数である。 よって, ある点での link の Euler 標数が奇数になる空間は, real algebraic set と同相にならない。

そしてそのタイトルにもあるように constructible function という概念が, 中心的な役割を果たしている。最近では, constructible function の Euler 標数に関する積分の研究も盛んである。

McCrory の [McC03] によると, 2次元以下では Sullivan の Euler標数による局所的な条件が, 必要十分らしい。3次元以上では Sullivan の条件を満たすが real algebral set と同相にならないものもある。4次元では, 少なくとも \(2^{43}-43\) の独立な obstruction がある [MP00], そうであ る。

Betti数の和を考えている人もいる。Bihan と Sottile の [BS] では, stratified Morse theory が使われている。彼らの Betti 数の評価の元になっているのは, Khovanskii の [Kho91] のようであるが。

可微分多様体から real algebraic set への写像を up to homotopy で \(C^{\infty }\)写像にすることができる, と Baird と Ramras [BR] が言っている。

Sjöland [Sjö] によると, 組み合せ論の問題で real algebraic geometry に帰着させることができるものもあるようである。 多面体の一般化と考えれば, 分からなくもない。

比較的新しい不変量としては, algebraic cycle の空間ホモトピー群として定義される Lawson (co)homology がある。

実数体は順序体なので, semi-algebraic set というものも考えられる。 等号だけではなく, 不等号も使って表されるものである。

References

[AK92]

Selman Akbulut and Henry King. Topology of real algebraic sets. Vol. 25. Mathematical Sciences Research Institute Publications. New York: Springer-Verlag, 1992, pp. x+249. isbn: 0-387-97744-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-9739-7.

[Akb06]

Selman Akbulut. “Real algebraic structures”. In: Proceedings of Gökova Geometry-Topology Conference 2005. Gökova Geometry/Topology Conference (GGT), Gökova, 2006, pp. 49–58. arXiv: math/0601105.

[BR]

Thomas Baird and Daniel A. Ramras. Smoothing maps into algebraic sets and spaces of flat connections. arXiv: 1206.3341.

[BS]

Frederic Bihan and Frank Sottile. Betti number bounds for fewnomial hypersurfaces via stratified Morse theory. arXiv: 0801.2554.

[Dim]

Alexandru Dimca. On the connectivity of some complete intersections. arXiv: math/0507501.

[Hau03]

Herwig Hauser. “The Hironaka theorem on resolution of singularities (or: A proof we always wanted to understand)”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40.3 (2003), pp. 323–403. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-03-00982-0.

[Joy19]

Dominic Joyce. “Algebraic geometry over \(C^{\infty }\)-rings”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 260.1256 (2019), pp. v+139. arXiv: 1001.0023. url: https://doi.org/10.1090/memo/1256.

[Kho91]

A. G. Khovanskiı̆. Fewnomials. Vol. 88. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the Russian by Smilka Zdravkovska. Providence, RI: American Mathematical Society, 1991, pp. viii+139. isbn: 0-8218-4547-0.

[Lib]

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[LM]

Constance Leidy and Laurentiu Maxim. Obstructions on fundamental groups of plane curve complements. arXiv: math/0703008.

[McC03]

Clint McCrory. “How to show a set is not algebraic”. In: Algorithmic and quantitative real algebraic geometry (Piscataway, NJ, 2001). Vol. 60. DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003, pp. 77–82. arXiv: math/ 0106084.

[MP00]

Clint McCrory and Adam Parusiński. “Topology of real algebraic sets of dimension 4: necessary conditions”. In: Topology 39.3 (2000), pp. 495–523. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00013-0.

[MP07]

Clint McCrory and Adam Parusiński. “Algebraically constructible functions: real algebra and topology”. In: Arc spaces and additive invariants in real algebraic and analytic geometry. Vol. 24. Panor. Synthèses. Paris: Soc. Math. France, 2007, pp. 69–85. arXiv: math/ 0202086.

[Oka05]

Mutsuo Oka. “A survey on Alexander polynomials of plane curves”. In: Singularités Franco-Japonaises. Vol. 10. Sémin. Congr. Paris: Soc. Math. France, 2005, pp. 209–232.

[Sjö]

Erik Sjöland. Using real algebraic geometry to solve combinatorial problems with symmetries. arXiv: 1408.1065.

[Sul71]

D. Sullivan. “Combinatorial invariants of analytic spaces”. In: Proceedings of Liverpool Singularities—Symposium, I (1969/70). Berlin: Springer, 1971, pp. 165–168.

[Tot00]

Burt Totaro. “Chern numbers for singular varieties and elliptic homology”. In: Ann. of Math. (2) 151.2 (2000), pp. 757–791. url: http://dx.doi.org/10.2307/121047.

[Tot02]

B. Totaro. “Topology of singular algebraic varieties”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 533–541.