Hamiltonの四元数体

実数, 複素数の次は, Hamilton の四元数 \(\Ha \) である。 最も一般的な応用としては, \(\R ^{3}\) の回転を四元数の回転で表す, ということだろうか。例えば, セガが公開し ている線形代数の勉強会の資料の最後にも登場する。 トポロジーでは, \(\mathrm{Sp}(n)\) などの Lie 群の構成で目にする。 ある種の3次元多面体の辺の数を考察した, Motzkin の [Mot64] でも使われているが, この場合にどうして四元数が有効なのか, よくわからない。

実数や複素数でできることを四元数に拡張しようという試みも, いろいろ行われている。

例えば, 行列式については様々な方法が提案されている, らしい。Konno と Mitsuhashi と Sato の [KMS] では Aslaksen の Mathematical Intelligencer の解説 [Asl96] と Zhang の survey [Zha97] が参照されている。

固有値については, Wood の [Woo85] がある。 3次のホモトピー群が使われているのが興味深い。

関数解析を \(\Ha \) 上に拡張することについては, Ng の [Ng] などを見るとよい。四元数体上の Hilbert 空間なども考えられているようである。 Quaternionic geometry については, Arapura の [Ara] の §2に解説がある。 そこに挙げられている文献から辿るのが手っ取り早い。

Arnol\('\)d の [Arn00] には, 実数と複素数の間に存在する analogy を四元数に拡張しようとした表があって面白い。その前に [Arn99] を読んでみるのもよいと思う。

Fibonacci数については, Horadam [Hor63] により考えられている。 その八元数版もある。Savin の [Savb] を参照のこと。

四元数については関係式を少し変えたものも考えられていて, それらも含めて quaternion algebra と呼ばれているようである。例えば, Bourbaki の [Bou70] の Chapter 3 の §2.5 に書いてある。Appendix では, 八元数での類似についても書いてある。

色々応用があるようであるが, 例えば Hilden らの [HLM] では, 結び目への応用が考えられている。 Kionke と Schwermer の [KS] では number field 上の quaternion algebra が考えられている。 Savinの [Sava] では, 有限体上の quaternion algebra が調べられている。

このようなHamiltonの四元数体の一般化の起源については, MathOverflow のこの質問とその回答を見るとよい。どうやら最初はDicksonが [Dic12] などで考えたもののようである。

変種としては, Macfarlane [Mac02] による hyperbolic quaternion もある。Quinnの [Qui] で知った。 球面と四元数の関係の, hyperbolic version を得ることが目的のようである。

• hyperbolic quaternions

References

[Ara]

Donu Arapura. Geometry of cohomology support loci II: integrability of Hitchin’s map. arXiv: alg-geom/9701014.

[Arn00]

V. I. Arnold. “Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts?” In: Mathematics: frontiers and perspectives. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 403–416.

[Arn99]

V. I. Arnold. “Symplectization, complexification and mathematical trinities”. In: The Arnoldfest (Toronto, ON, 1997). Vol. 24. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 23–37.

[Asl96]

Helmer Aslaksen. “Quaternionic determinants”. In: Math. Intelligencer 18.3 (1996), pp. 57–65. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF03024312.

[Bou70]

N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Algèbre. Chapitres 1 à 3. Paris: Hermann, 1970, xiii+635 pp. (not consecutively paged).

[Dic12]

Leonard Eugene Dickson. “Linear algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 13.1 (1912), pp. 59–73. url: https://doi.org/10.2307/1988614.

[HLM]

Hugh M. Hilden, Maria Teresa Lozano, and Jose Maria Montesinos-Amilibia. On representations of 2-bridge knot groups in quaternion algebras. arXiv: 1001.3546.

[Hor63]

A. F. Horadam. “Complex Fibonacci numbers and Fibonacci quaternions”. In: Amer. Math. Monthly 70 (1963), pp. 289–291. url: https://doi.org/10.2307/2313129.

[KMS]

Norio Konno, Hideo Mitsuhashi, and Iwao Sato. The quaternionic weighted zeta function of a graph. arXiv: 1507.06761.

[KS]

Steffen Kionke and Joachim Schwermer. On the growth of the first Betti number of arithmetic hyperbolic \(3\)-manifolds. arXiv: 1204.3750.

[Mac02]

Alexander Macfarlane. “Hyperbolic Quaternions”. In: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 23 (1902), pp. 169–180.

[Mot64]

Theodore S. Motzkin. “The evenness of the number of edges of a convex polyhedron”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 52 (1964), pp. 44–45. url: https://doi.org/10.1073/pnas.52.1.44.

[Ng]

Chi-Keung Ng. On quaternionic functional analysis. arXiv: math/0609160.

[Qui]

Joseph A. Quinn. A Complex Quaternion Model for Hyperbolic \(3\)-Space. arXiv: 1701.06709.

[Sava]

Diana Savin. About special elements in quaternion algebras over finite fields. arXiv: 1510.00318.

[Savb]

Diana Savin. Some properties of Fibonacci numbers, Fibonacci octonions and generalized Fibonacci-Lucas octonions. arXiv: 1505.01770.

[Woo85]

R. M. W. Wood. “Quaternionic eigenvalues”. In: Bull. London Math. Soc. 17.2 (1985), pp. 137–138. url: https://doi.org/10.1112/blms/17.2.137.

[Zha97]

Fuzhen Zhang. “Quaternions and matrices of quaternions”. In: Linear Algebra Appl. 251 (1997), pp. 21–57. url: http://dx.doi.org/10.1016/0024-3795(95)00543-9.