Numerable Covering and Partition of Unity

Numerable な被覆とは, それに従属する\(1\)の分割が存在する被覆のことである。 \(1\)の分割については, Dydak の解説 [Dyd03] がある。

• partition of unity

Numerable な被覆については, Pavlov の [Pav22] の section 3 が詳しい。文献を挙げて基本的な性質についてまとめられているので便利である。 例えば次のような性質がある。

• Numerable な被覆の連続写像による逆像は numerable である。 [Tuk40]
• \(\mathrm {T}_{1}\) 空間が paracompact Hausdorff であるための必要十分条件は, 任意の開被覆が numerable であることである。 [Mic53]

代数的トポロジーでは, Dold の仕事 [Dol63] を, まず知っておくべきだろう。よって fiber bundle の分類などで基本的である。また, Miyazaki の結果 [Miy52] により CW複体が paracompact であることから, 普通に代数的トポロジーを行なう状況なら, 任意の開被覆は numerable になる。

開集合による被覆は, Grothendieck topology の covering による定義の元になっているものであるが, それに関連した numerable open covering の特徴付けとして, Pavlov [Pav22] によるものがある。 Pavlov はそれを用いて, numerable covering により定まる Grothendieck topology を持つ位相空間の成す site 上の simplicial presheaf の homotopy descent property を調べている。

References

[Dol63]

Albrecht Dold. “Partitions of unity in the theory of fibrations”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 223–255. url: https://doi.org/10.2307/1970341.

[Dyd03]

Jerzy Dydak. “Partitions of unity”. In: Proceedings of the Spring Topology and Dynamical Systems Conference. Vol. 27. 1. 2003, pp. 125–171. arXiv: math/0210379.

[Mic53]

Ernest Michael. “A note on paracompact spaces”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), pp. 831–838. url: https://doi.org/10.2307/2032419.

[Miy52]

Hiroshi Miyazaki. “The paracompactness of \(CW\)-complexes”. In: Tohoku Math. J. (2) 4 (1952), pp. 309–313. url: https://doi.org/10.2748/tmj/1178245380.

[Pav22]

Dmitri Pavlov. “Numerable open covers and representability of topological stacks”. In: Topology Appl. 318 (2022), Paper No. 108203, 28. arXiv: 2203.03120. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108203.

[Tuk40]

John W. Tukey. Convergence and Uniformity in Topology. Annals of Mathematics Studies, No. 2. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1940, pp. ix+90.