可換とは限らないが結合的な代数

代数的トポロジーでの環構造としては, cohomology として得られるものが, 最も一般的である。そして, それは graded algebra として可換である。 一方, 位相群や Hopf space のように, 空間自体が積を持つ場合, ホモロジーは積を持つが, 元の空間の積によっては, 可換とは限らない代数になる。例えば, loop space のように homotopy associative な積を持つ場合は, ホモロジー環として, associative algebra が得られるが, double loop space でないと, 可換とは限らない。 基本的な事実として, \(H_*(\Omega \Sigma X;k)\) が, \(\widetilde {H}_{*}(X;k)\) 上の tensor algebra であることは知っておくべきだろう。 Tensor algebra は free algebra であり, algebra を生成元と関係式で表すときの基礎となる。

• tensor algebra
• quadratic algebra

Quadratic という性質は, Koszul dual という性質と関係が深い。 Tsemo と Wougang は, [TW07] で quadratic algebra の圏を抽象化した quadratic category を定義している。

• hereditary algebra
• quiver の path algebra と incidence algebra
• quasi-free algebra [CQ95]
• 体 \(k\) 上の有限次元代数 \(A\) が quasi-free であるための必要十分条件は, hereditary であり \(A/\mathrm {rad} A\) が \(k\) 上 separable であること。[Cra99]
• 二つの環が Morita 同値であること。

Morita 同値は, 元々森田紀一氏によって [Mor58] で導入された環の間の同値関係であるが, 様々な context で一般化されてきた。 詳しくは, 別のところに書いた。

体 (可換環) 上の線型代数を, 非可換環に一般化しようという試みも古くからある。 この問題については, Gel\('\)fand と Gel\('\)fand と Retakh と Wilson の [Gel+05] に歴史的なことも含めて詳しく書いてある。彼等はそこで Gel\('\)fand と Retakh により導入された quasideterminant の概念を調べている。

• quasideterminant

二つの algebra の “積” として, 非可換幾何などでは, twisted tensor product を考える。文献としては, Cap と Schichl と Vanžura の [CSV95] や Van Daele と Van Keer の [VV94] がある。

• algebra の twisted tensor product

Twisted tensor product の一般化としては, Martinez, López Peña, Panaite, van Oystaeyen の [Jar+08] や [LPV07] がある。 López Peña は, [Lóp] で twisted tensor product 上の connection と curvature について考えている。Hopf algebra (bialgebra) の場合には, smash product construction と共通の一般化として, L-R-twisted tensor product という構成が, Ciungu と Panaite [CP14] により考えられている。

代数幾何のアイデアやテクニックを, 非可換代数に応用しょうという試みもある。Stafford による ICM 2002 での survey [Sta02] がある。低次元, つまり noncommutative curve や noncommutative surface については, かなりのことが分ってきたようである。 それについては, やはり Stafford と Van den Bergh の [SB01] という survey がある。

• noncommutative algebraic geometry

可換とは限らない環を係数とする多項式については, \(1\)次式への分解は存在したとしても一意的とは限らない。 その分解の集合を調べるのは重要, らしい。Retakh らによって研究されている。 [RSW07] など。

Ginzburg と Schedler の [GS10] で使われている twisted associative algebra や twisted commutative algebra というものもある。

• twisted associative algebra
• twisted commutative algebra

元々, Barratt が [Bar78] で考えたもののようである。 Ginzburg と Schedler の動機は, Grothendieck による可換環上の differential operator の理論を非可換環に拡張することであるが, Barratt は Whitehead product を考えるのが目的だったようである。 より正確には, Whitehead product による twisted Lie algebra の universal enveloping algebra を考えたかったようである。

• twisted Lie algebra

References

[Bar78]

M. G. Barratt. “Twisted Lie algebras”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1978, pp. 9–15.

[CP14]

Mădălin Ciungu and Florin Panaite. “L-R-smash products and L-R-twisted tensor products of algebras”. In: Algebra Colloq. 21.1 (2014), pp. 129–146. arXiv: 1007 . 2372. url: https://doi.org/10.1142/S1005386714000091.

[CQ95]

Joachim Cuntz and Daniel Quillen. “Algebra extensions and nonsingularity”. In: J. Amer. Math. Soc. 8.2 (1995), pp. 251–289. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152819.

[Cra99]

William Crawley-Boevey. “Preprojective algebras, differential operators and a Conze embedding for deformations of Kleinian singularities”. In: Comment. Math. Helv. 74.4 (1999), pp. 548–574. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000140050105.

[CSV95]

Andreas Cap, Hermann Schichl, and Jiřı́ Vanžura. “On twisted tensor products of algebras”. In: Comm. Algebra 23.12 (1995), pp. 4701–4735. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879508825496.

[Gel+05]

Israel Gelfand, Sergei Gelfand, Vladimir Retakh, and Robert Lee Wilson. “Quasideterminants”. In: Adv. Math. 193.1 (2005), pp. 56–141. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.03.018.

[GS10]

Victor Ginzburg and Travis Schedler. “Differential operators and BV structures in noncommutative geometry”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.4 (2010), pp. 673–730. arXiv: 0710 . 3392. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0029-8.

[Jar+08]

Pascual Jara Martı́nez, Javier López Peña, Florin Panaite, and Freddy van Oystaeyen. “On iterated twisted tensor products of algebras”. In: Internat. J. Math. 19.9 (2008), pp. 1053–1101. arXiv: math/0511280. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X08004996.

[Lóp]

Javier López Peña. Connections over twisted tensor products of algebras. arXiv: math/0610978.

[LPV07]

Javier López Peña, Florin Panaite, and Freddy Van Oystaeyen. “General twisting of algebras”. In: Adv. Math. 212.1 (2007), pp. 315–337. arXiv: math/0605086. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.10.003.

[Mor58]

Kiiti Morita. “Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition”. In: Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A 6 (1958), pp. 83–142.

[RSW07]

Vladimir Retakh, Shirlei Serconek, and Robert Lee Wilson. “Construction of some algebras associated to directed graphs and related to factorizations of noncommutative polynomials”. In: Lie algebras, vertex operator algebras and their applications. Vol. 442. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 201–219. arXiv: math/0603327. url: https://doi.org/10.1090/conm/442/08527.

[SB01]

J. T. Stafford and M. van den Bergh. “Noncommutative curves and noncommutative surfaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38.2 (2001), pp. 171–216. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00894-1.

[Sta02]

J. T. Stafford. “Noncommutative projective geometry”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 93–103.

[TW07]

Aristide Tsemo and Isaac Woungang. “Quadratic categories and Koszul resolutions”. In: Afr. Diaspora J. Math. 5.1 (2007), pp. 27–49. arXiv: math/0512349.

[VV94]

A. Van Daele and S. Van Keer. “The Yang-Baxter and pentagon equation”. In: Compositio Math. 91.2 (1994), pp. 201–221. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1994__91_2_201_0.