Matrix factorization

Dyckeroff [Dyc11] によると matrix factorizations が最初に登場したのは, Eisenbud の [Eis80] のようである。 文献としては, Yoshino の [Yos90] がある。 Dyckerhoff の [Dyc11] の section 2 も introduction としてよい。 次数付きの場合は, H. Wu の [Wu14] に良いまとめがある。

• 体 \(k\) 上の regular local \(k\)-algebra \((R,\mathfrak {m})\) とその上の superpotential \(w\) に対する matrix factorization の成す dg category \(\mathrm {MF}(R,w)\)
• \(\mathrm {MF}(R,w)\) の homotopy category は triangulated category

String theory との関連は Kontsevich により提案された。これについては, Math Overflow のこの質問に対する Kevin Lin の回答をみるのがよい。Link も豊富である。Dyckerhoff と Murfet の [DM12] の最後には, Lurie の extended topological quantum field theory との関係についても書いてある。

Knot homology との関係は, Khovanov と Rozansky [KR08a; KR08b] によるのだろうか。 この分野にはたくさんの文献がある。

Carquville と Runkel は, [CR10]で matrix factorization の tensor product, つまり matrix factorization の category の monoidal structure を考えている。 彼等のアイデアは bimodule を使うことであり, bimodule matrix factorization の category に monoidal structure を定義している。 物理学的な意味もあるようである。

Matrix factorization の Knörrer periodicity [Knö87] と topological \(K\)-theory の Bott periodicity には関係があるらしい。Michael Brown が [Bro16] で示している。

Brown, Miller, Thompson, Walker [Bro+17] は, matrix factorization の Grothendieck group 上に Adams operation を定義している。

一般化としては, 以下のようなものがある。

• twisted matrix factorization [Cas+16]
• \(n\)-fold matrix factorization [Tri]
• module factorization [Che]
• \(n\)-fold module factorization [SZ26]
• factorization category

Factorization category は, Positselski の 仕事 [Pos11; EP] に基づいて Ballard, Deliu, Favero, Isik, Katzarkov の [Bal+16] で定義されているものである。

References

[Bal+16]

Matthew Ballard, Dragos Deliu, David Favero, M. Umut Isik, and Ludmil Katzarkov. “Resolutions in factorization categories”. In: Adv. Math. 295 (2016), pp. 195–249. arXiv: 1212.3264. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.02.008.

[Bro+17]

Michael K. Brown, Claudia Miller, Peder Thompson, and Mark E. Walker. “Adams operations on matrix factorizations”. In: Algebra Number Theory 11.9 (2017), pp. 2165–2192. arXiv: 1610.09907. url: https://doi.org/10.2140/ant.2017.11.2165.

[Bro16]

Michael K. Brown. “Knörrer periodicity and Bott periodicity”. In: Doc. Math. 21 (2016), pp. 1459–1501. arXiv: 1507.03329. url: https://doi.org/10.2118/180920-pa.

[Cas+16]

Thomas Cassidy, Andrew Conner, Ellen Kirkman, and W. Frank Moore. “Periodic free resolutions from twisted matrix factorizations”. In: J. Algebra 455 (2016), pp. 137–163. arXiv: 1307.8415. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.01.037.

[Che]

Xiao-Wu Chen. Module factorizations and Gorenstein projective modules. arXiv: 2402.11613.

[CR10]

Nils Carqueville and Ingo Runkel. “On the monoidal structure of matrix bi-factorizations”. In: J. Phys. A 43.27 (2010), pp. 275401, 33. eprint: 0909.4381. url: http://dx.doi.org/10.1088/1751-8113/43/27/275401.

[DM12]

Tobias Dyckerhoff and Daniel Murfet. “The Kapustin-Li formula revisited”. In: Adv. Math. 231.3-4 (2012), pp. 1858–1885. arXiv: 1004.0687. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.021.

[Dyc11]

Tobias Dyckerhoff. “Compact generators in categories of matrix factorizations”. In: Duke Math. J. 159.2 (2011), pp. 223–274. arXiv: 0904.4713. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-1415869.

[Eis80]

David Eisenbud. “Homological algebra on a complete intersection, with an application to group representations”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 260.1 (1980), pp. 35–64. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999875.

[EP]

Alexander I. Efimov and Leonid Positselski. Coherent analogues of matrix factorizations and relative singularity categories. arXiv: 1102.0261.

[Knö87]

Horst Knörrer. “Cohen-Macaulay modules on hypersurface singularities. I”. In: Invent. Math. 88.1 (1987), pp. 153–164. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01405095.

[KR08a]

Mikhail Khovanov and Lev Rozansky. “Matrix factorizations and link homology”. In: Fund. Math. 199.1 (2008), pp. 1–91. arXiv: math/0401268. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm199-1-1.

[KR08b]

Mikhail Khovanov and Lev Rozansky. “Matrix factorizations and link homology. II”. In: Geom. Topol. 12.3 (2008), pp. 1387–1425. arXiv: math/0505056. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.1387.

[Pos11]

Leonid Positselski. “Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 212.996 (2011), pp. vi+133. arXiv: 0905.2621. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-2010-00631-8.

[SZ26]

Yongliang Sun and Yaohua Zhang. “\(N\)-fold module factorizations: Triangle equivalences and recollements”. In: J. Algebra 685 (2026), pp. 1–25. arXiv: 2406.09655. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2025.07.024.

[Tri]

Tim Tribone. Matrix factorizations with more than two factors. arXiv: 2102.06819.

[Wu14]

Hao Wu. “A colored \(\mathfrak {sl}(N)\) homology for links in \(S^3\)”. In: Dissertationes Math. 499 (2014), p. 217. arXiv: 0907.0695. url: https://doi.org/10.4064/dm499-0-1.

[Yos90]

Yuji Yoshino. Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings. Vol. 146. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1990, pp. viii+177. isbn: 0-521-35694-6.