Locale と関連した概念

Locale は, ある種の lattice として定義される。 よって poset の一種である。 そう言われると 組み合せ論的な概念のように感じられるが, そうではない。有限性を仮定しないからである。

• complete lattice
• sup-lattice

Locale の典型的な例は, 位相空間の開集合族の成す lattice である。 よって「点を持たない位相空間」と考える方が良い。分野としては, 数学基礎論に入るのだろうか。

しかしながら, van den Berg と Heunen [BH14] によると, 可換環の \(\mathrm {Spec}\) を拡張しようとするとき, locale に値を持つ functor は \(3\) 次以上の行列環で自明になってしまうようである。 これは Reyes [Rey12] による集合に値をとる \(\mathrm {Spec}\) の拡張に関する結果の一般化である。この点から見ると, locale は位相空間の一般化としてはそれほど有望には思えないが, どうなのだろう。

一方, Ebel と Kapulkin [EK] は, Quillen による 位相空間の圏の model structure の構成を抽象化した枠組みを構築し, それが locale の category に適用できることを示している。この点からは, locale はかなり位相空間に近いものと言えそうである。

• model category of locales

関連した概念として quantale (quantum locale) というものがある。

• quantale

Directed algebraic topology で登場する preordered space や partially ordered space に対応したものも考えられている。 Schaaf の thesis [Sch] では ordered locale という名前で呼ばれている。

• ordered locale

References

[BH14]

Benno van den Berg and Chris Heunen. “Extending obstructions to noncommutative functorial spectra”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 17, 457–474. arXiv: 1407.2745.

[EK]

Sterling Ebel and Chris Kapulkin. Synthetic approach to the Quillen model structure on topological spaces. arXiv: 2310.14235.

[Rey12]

Manuel L. Reyes. “Obstructing extensions of the functor Spec to noncommutative rings”. In: Israel J. Math. 192.2 (2012), pp. 667–698. arXiv: 1101.2239. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0043-y.

[Sch]

Nesta van der Schaaf. Towards Point-Free Spacetimes. arXiv: 2406.15406.