Ind-objects

ある圏 \(\bm {C}\) の filtered diagram, すなわち filtered category から \(\bm {C}\) への covariant functor を ind-object という。

• 圏 \(\bm {C}\) の ind-object の成す圏 \(\mathrm {Ind}(\bm {C})\)

ホモトピー論の視点からは, まず位相空間の圏の ind-object を考えたくなるが, 使われている文献をほとんど知らない。 唯一見たことがあるのは, Abels と Tiemeyer [AT97] である。 Ind-object の成す圏についての基本的なことについても, その section 1 に書かれている。

彼等は, 離散群の有限性条件を locally compact Hausdorff group に一般化するために使っている。 そこでは, ind-space の ホモロジー群や ホモトピー群, そして Hurewicz theorem などが登場する。

• ind-space
• Hurewicz theorem for ind-spaces

Ind-space のホモロジー群や (\(2\)次以上の) ホモトピー群は, Abel群の ind-object の圏に値を取るが, Schäppi [Sch14] に書かれているように, \(\bm {C}\) が Abelian ならば, \(\category {Ind}(\bm {C})\) も Abelian になる。ただ, \(\bm {C}\) が Abelian でなくても \(\category {Ind}(\bm {C})\) が Abelian になる場合がある。Schäppi は, そのような圏の特徴付けを得ている。

Scheme の category の ind-object については, 例えば, Gaitsgory と Rozenblyum の [GR14] で derived algebraic geometry の文脈で扱われている。また, colimit を取った後のものは formal scheme と呼ばれ, Strickland が [Str99] を書いていることから分かるように, stable homotopy theory でも使われる。

Kontsevich と Soibelman [KS] は, object の全体が constructible set の ind-object になっている \(A_{\infty }\)-category を考え, ind-constructible \(A_{\infty }\)-category と呼んでいる。

References

[AT97]

H. Abels and A. Tiemeyer. “Compactness properties of locally compact groups”. In: Transform. Groups 2.2 (1997), pp. 119–135. url: https://doi.org/10.1007/BF01235936.

[GR14]

Dennis Gaitsgory and Nick Rozenblyum. “DG indschemes”. In: Perspectives in representation theory. Vol. 610. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 139–251. arXiv: 1108.1738. url: https://doi.org/10.1090/conm/610/12080.

[KS]

Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations. arXiv: 0811.2435.

[Sch14]

Daniel Schäppi. “Ind-abelian categories and quasi-coherent sheaves”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 157.3 (2014), pp. 391–423. arXiv: 1211.3678. url: https://doi.org/10.1017/S0305004114000401.

[Str99]

Neil P. Strickland. “Formal schemes and formal groups”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 263–352. arXiv: math/0011121. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/239/03608.