Hurewicz Homomorphism and Hurewicz Theorem

ホモロジー群とホモトピー群は, 対照的な性質を持つ。ホモロジーは, cofibration と相性が良いが, ホモトピー群は, fibration と関係が深い。 その2つを直接繋ぐものとして, Hurewicz 準同形 がある。

様々な一般化があるが, まずは最も基本的な次の場合を理解すべきだろう。

• \(\widetilde {H}_n(S^n;\Z )\) の生成元 \(x_n\) を選び, \([f]\in \pi _n(X) = [S^n,X]_*\) に対し, \(h([f]) = f_*(x_n)\) で定義される写像 \[ h : \pi _n(X) \longrightarrow \widetilde {H}_n(X;\Z ) \]

この Hurewicz 準同形は, 一般には同型とはほど遠い。ホモトピー群が初めて nontrivial になる degree では同型になるというのが Hurewicz の定理である。 ただし, degree \(1\) は例外的であることに注意する。

• Hurewicz の定理

精密化としては, J.H.C. Whitehead [Whi50] によるものがある。 \[ \cdots \rarrow {} H_{n+1}(X;\Z ) \rarrow {} \Gamma _{n}(X) \rarrow {} \pi _{n}(X) \rarrow {h} H_{n}(X;\Z ) \rarrow {} \cdots \] という完全列が構成されている。最近では, [Ben] などで調べられている。

より一般に, Hurewicz spectral sequence という spectral sequence がある。

• Hurewicz spectral sequence

Hurewicz spectral sequence と呼べるものとしては, Kahn が [Kah66] で構成した Postnikov tower に対するスペクトル系列が最初かもしれない。Kahn は, その spectral sequence を用いて, Hurewicz 準同型の kernel に filtration を定義している。

• Hurewicz 準同型の kernel に対する Kahn の filtration

一般に Hurewicz 準同型の像になっている元を spherical class と呼ぶが, spherical class に関連した予想として, Curtis 予想と呼ばれるものがある。

• Curtis 予想

\(\Omega ^{\infty }_0S^{\infty }\) の mod \(2\) Huerwicz 準同型の像が Hopf invariant \(1\) と Kervaire invariant \(1\) の元の像のみである, という予想である。このとき Hurewicz 準同型の定義域は, \[ \pi _*(\Omega ^{\infty }_0S^{\infty })\cong \pi _{*}^S(S^{0}) \] と球面の安定ホモトピー群とみなせるので, ホモロジーを使って取り出せる球面の安定ホモトピー群の元が, Hopf invariant \(1\) と Kervaire invariant \(1\) の元のみである, という予想である。 Edward Curtis が [Cur75] で \(\Omega ^{\infty }_0S^{\infty }\) の spherical class を調べたので Curtis の名前が付いているのだろうが, この論文では予想としては述べられていない。 20世紀の終りあたりに, Hung とその周辺の人 [Hun97; Hun03; Hun99; HP98] により調べられた。最近でもベトナムの人々により研究されている。 Zare の [Zar] もある。

Hurewicz の定理の変種としては, ホモトピー群もホモロジー群も mod \(p\) 係数にした, Neisendorfer の [Nei80] に書いてあるものがある。 もちろん, 有理数係数のもの [KK04] もある。ホモトピー群 を, \(V(1)\) を定義域とするホモトピー集合にしたのは, 椎名の [Shi06] である。

• mod \(p\) Hurewicz theorem
• rational Hurewicz theorem
• mod \(v_1\) Hurewicz theorem

Hurewicz 準同形は, suspension と可換である。 よって安定ホモトピー群からの準同形が定義される。 安定ホモトピー論的には, 安定ホモトピー群 (集合) から一般ホモロジーへの準同形と考えるべきである。そして, それは spectrum の間の morphism \[ S \longrightarrow E \] から誘導されたもの \[ \pi _*^S(X) \longrightarrow E_*(X) \] である。\(E\) が ring spectrum の場合には, unit map から誘導されたものを Hurewicz 準同形と呼ぶべきだろう。

References

[Ben]

Mahmoud Benkhalifa. The Whitehead exact sequence and the classification problem of homotopy types. arXiv: 1802.09867.

[Cur75]

Edward B. Curtis. “The Dyer-Lashof algebra and the \(\Lambda \)-algebra”. In: Illinois J. Math. 19 (1975), pp. 231–246.

[HP98]

Nguy~^e n H. V. Hu’ng and Franklin P. Peterson. “Spherical classes and the Dickson algebra”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 124.2 (1998), pp. 253–264. url: https://doi.org/10.1017/S0305004198002667.

[Hun03]

Nguy~^e n H. V. Hu’ng. “Erratum to: “Spherical classes and the algebraic transfer” [Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), no. 10, 3893–3910; MR1433119 (98e:55020)]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.9 (2003), pp. 3841–3842. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03302-6.

[Hun97]

Nguy~^e n H. V. Hu’ng. “Spherical classes and the algebraic transfer”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 349.10 (1997), pp. 3893–3910. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-97-01991-0.

[Hun99]

Nguy~^e n H. V. Hu’ng. “The weak conjecture on spherical classes”. In: Math. Z. 231.4 (1999), pp. 727–743. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00004750.

[Kah66]

Donald W. Kahn. “The spectral sequence of a Postnikov system”. In: Comment. Math. Helv. 40 (1966), pp. 169–198. url: https://doi.org/10.1007/BF02564370.

[KK04]

Stephan Klaus and Matthias Kreck. “A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136.3 (2004), pp. 617–623. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004103007114.

[Nei80]

Joseph Neisendorfer. “Primary homotopy theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 25.232 (1980), pp. iv+67. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0232.

[Shi06]

Takahisa Shiina. “Unstable splitting of \(V(1)\wedge V(1)\) and its applications”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 169–186. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1140012469.

[Whi50]

J. H. C. Whitehead. “A certain exact sequence”. In: Ann. of Math. (2) 52 (1950), pp. 51–110. url: https://doi.org/10.2307/1969511.

[Zar]

Hadi Zare. Generalised geometric weak conjecture on spherical classes and non-factorisation of Kervaire invariant one elements. arXiv: 1512.02040.