Homotopy n-Types

Postnikov tower が \(n\)-stage までしかない空間のホモトピー型, あるいは与えられた空間の \(n\)-stage Postnikov section を homotopy \(n\)-type という。

連結な空間の homotopy \(1\)-type は, その基本群で決まる。 つまり, \(K(\pi ,1)\) 空間である。より一般に, homotopy \(1\)-type は fundamental groupoid で決まる。

このことを出発点に, より高次の homotopy \(n\)-type を, 代数的な構造で記述しようという試みがある。有名なのは Grothendieck の [Gro] だろうか。それ以前に, R. Brown などにより様々な試みがある。 これまでに知られていることについては, Blanc と Paoli の [BP14] の Introduction を見るのが手っ取り早い。

このような対応で, homotopy \(n\)-type に対応する weak \(n\)-groupoid という概念があるという主張を homotopy hypothesis という。

  • homotopy hypothesis

小さな \(n\) については, 以下のようなモデルがある。

一般の \(n\) については, 次のようなモデルがある。

  • \(\mathrm {cat}^n\)-group [Lod82]
  • crossed \(n\)-cube [ES87; Por93]
  • \(n\)-hyper-crossed complex [CC91]
  • Bataninの higher groupoid [Bat98; Cis07]
  • \(n\)-hypergroupoid [Gle82]
  • Tamsamani の weak \(n\)-groupoid [Tam99; Sim12; Sim]
  • Blanc と Paoli の weakly globular pseudo \(n\)-fold groupoid [BP14]



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