安定ホモトピー論からホモロジー代数に導入された概念

Spectrum の圏が整備されたことにより, (ホモロジー) 代数的構成が spectrum でできるようになり, 安定ホモトピー論が, より一層代数的になったのは, 1990年代である。 当然, 逆の方向, つまり安定ホモトピー論で導入された概念を triangulated categoryなど, ホモロジー代数に導入しようという動きもある。

Bökstedt と Neeman の論文 [BN93] の冒頭に

Topologists and algebraists have been independently studying the homotopy category for a long time. To a large extent the theories they have developed are parallel. But the topologists have had a number of insights which have eluded the algebraists, and what we have tried to do in this paper is to expose these insights, giving some algebraic applications.

と書かれていることからも分かるように, この方向の研究は, Neeman に依るところが大きい。もちろん他にも algebraic analogue を考えた人はいる。 重要なのは, Hopkins の [Hop87] だろう。

Bökstedt と Neeman の [BN93] は, triangulated category での homotopy colimit を考えたものである。 Sequential なものだけであるが。 Neeman は, [Nee92a] で, Brown の表現定理の類似を考えている。

Freyd の generating hypothesis も derived category などでの類似が考えられている。

• generating hypothesis

より新しいものとしては, Neeman の [Nee92b] が重要だろう。 Hopkins が [Hop87] の最後に述べた, 安定ホモトピー圏での periodic phenomema の代数的な類似の証明を与えるものである。現在では, Hopkins-Neeman theorem と呼ばれているようである。

• Hopkins-Neeman theorem

Hopkins らの仕事では, Bousfield localization が重要な役割を果しているが, Bousfield class が集合を成すという Ohkawa の定理 [Ohk89] については, Iyengar と Krause [IK13] が compactly generated triangulated category での類似を得ている。

• Bousfield localiztion

Hopkins らの仕事の元になったのは, Ravenel が [Rav84] で述べた一連の予想である。その中の予想1.33の類似について , Keller [Kel94] が, 環の derived category では成り立たないことを示している。

Ravenel の論文で中心的な役割を果し, しかし一般には成り立たないことが示されてしまったのが telescope conjecture であるが, Krause と Šťovíček [KŠ10] が, hereditary ring の derived category では成り立つことを示している。

• telescope conjecture

References

[BN93]

Marcel Bökstedt and Amnon Neeman. “Homotopy limits in triangulated categories”. In: Compositio Math. 86.2 (1993), pp. 209–234. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__86_2_209_0.

[Hop87]

Michael J. Hopkins. “Global methods in homotopy theory”. In: Homotopy theory (Durham, 1985). Vol. 117. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987, pp. 73–96.

[IK13]

Srikanth B. Iyengar and Henning Krause. “The Bousfield lattice of a triangulated category and stratification”. In: Math. Z. 273.3-4 (2013), pp. 1215–1241. arXiv: 1105.1799. url: https://doi.org/10.1007/s00209-012-1051-7.

[Kel94]

Bernhard Keller. “A remark on the generalized smashing conjecture”. In: Manuscripta Math. 84.2 (1994), pp. 193–198. url: https://doi.org/10.1007/BF02567453.

[KŠ10]

Henning Krause and Jan Šťovíček. “The telescope conjecture for hereditary rings via Ext-orthogonal pairs”. In: Adv. Math. 225.5 (2010), pp. 2341–2364. arXiv: 0810.1401. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.027.

[Nee92a]

Amnon Neeman. “The Brown representability theorem and phantomless triangulated categories”. In: J. Algebra 151.1 (1992), pp. 118–155. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(92)90135-9.

[Nee92b]

Amnon Neeman. “The chromatic tower for \(D(R)\)”. In: Topology 31.3 (1992). With an appendix by Marcel Bökstedt, pp. 519–532. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90047-L.

[Ohk89]

Tetsusuke Ohkawa. “The injective hull of homotopy types with respect to generalized homology functors”. In: Hiroshima Math. J. 19.3 (1989), pp. 631–639. url: http://projecteuclid.org/euclid.hmj/1206129296.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.